Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Een van de grootste problemen in de wereld is het verdelen van dingen. Of het nou om land, olie of cake gaat: eerlijk delen is een uitdaging.

Laatst zat ik bij vrienden te eten toen hun drie-jarige dochtertje geen zin meer had in haar broodje. Haar vader zei: “Geef mij de helft maar, dan moet jij de rest opeten.” Het meisje was slim genoeg om het broodje in twee ongelijke stukjes te delen: een klein stukje voor haarzelf, een groot stuk voor haar papa.

“Als je met twee mensen iets eerlijk moet verdelen,” vertelde ik haar toen, “gaat het zo: jij verdeelt het broodje in twee stukjes, en papa mag kiezen welk stukje hij wil!” Klein als ze is snapte ze wel dat dat in dit geval in haar nadeel uit zou pakken.

Deze methode werkt ook als het om iets begeerlijks gaat, bijvoorbeeld een cake. Persoon A snijdt hem in tweeën op een manier die hij eerlijk vindt, en persoon B mag een stuk kiezen. Allebei zijn ze tevreden: A vindt de verdeling eerlijk, B vindt dat hij minstens de helft heeft (hij kiest tenslotte het – in zijn ogen – grootste stuk).

Hier blijkt al dat mensen een verschillend idee van waarde kunnen hebben. Als de een het eerlijk doorgesneden vindt, kan de ander vinden dat een van de stukken groter is. Misschien zit er ook wel een kers of een stukje marsepein op de cake. Degene die het dolst op kersen of marsepein is, zal tevreden zijn met een kleiner stukje, als het lekkere extraatje er maar op zit. En de ander krijgt dan gewoon wat meer cake. Allebei denken ze dat ze het beste af zijn.

Gaat dit ook met drie mensen? Nee: als persoon A de cake in drieën deelt, en persoon B kiest eerst, dan kan het gebeuren dat B het stukje genomen heeft dat C ook het liefst zou willen. C krijgt misschien een stuk dat hij minder dan een derde van de cake vindt. Niet eerlijk dus, en zeker niet afgunst-vrij.

Toch kan eerlijk delen wel, bijvoorbeeld zo: persoon X beweegt langzaam met een mes van links naar rechts over de cake. Op het moment dat iemand (A) vindt dat hij bij een derde gekomen is, roept hij “stop!” X snijdt precies op die plek de cake door. Persoon A krijgt het afgesneden stukje (en is tevreden). B en C vinden allebei dat A een derde of minder gekregen heeft (anders hadden ze namelijk zelf eerder “stop!” geroepen), ze geloven dus beiden dat het resterende stuk minstens twee derde is, en dat stuk verdelen ze met de al genoemde “ik snij, jij kiest”-methode.

Deze manier is eerlijk, maar niet afgunst-vrij: A kan vinden dat B en C het resterende deel oneerlijk verdeeld hebben, waardoor bijvoorbeeld C een stuk kan hebben dat volgens A groter is dan zijn eigen deel.

Er bestaan theoretisch wel afgunst-vrije verdelingen, voor willekeurig veel personen. Alleen: bij vijf of meer mensen weet je niet van tevoren hoe vaak je moet snijden! Voor wie van kruimels houdt…

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Volgens Shakespeare zou een roos met elke andere naam net zo lekker hebben geroken, maar wiskundigen denken toch liever twee keer na voordat ze iets een naam geven. Vooral bij notatie die veel gebruikt gaat worden is het fijn als hij slim gekozen is. Anders zit je daarna jaren vast aan iets onhandigs. Iedereen die wel eens heeft geworsteld met driedubbele subscripts weet wat ik bedoel. Een ander voorbeeld van een ongelukkige notatie is het uitroepteken om het begrip faculteit aan te geven, 5! staat bijvoorbeeld voor 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Deze notatie wordt al sinds 1808 gebruikt, maar leidt nog steeds tot verwarring. Mijn moeder vroeg eens na het lezen van een artikel waarin ik 5! gebruikte waarom ik die 5 uitschreeuwde. Al in 1842 klaagde wiskundige Augustus De Morgan dat het barbaars was om in de wiskunde symbolen te introduceren die in onze gewone taal een duidelijke betekenis hebben. Hij snapte dan ook niet niet waarom schrijvers het uitroepteken op deze manier gebruikten, “[it] gives their pages the appearance of expressing surprise and admiration that 2, 3, 4, etc., should be found in mathematical results.”

Gelukkig zijn er ook voorbeelden van notatie die juist heel goed gekozen is. Neem het =-teken, de twee streepjes die aangeven dat het één gelijk is het ander, bijvoorbeeld x =1729. Over dit alledaagse teken is ontroerend goed nagedacht. In 1557 (toen Shakespeare nog niet eens geboren was) introduceerde Robert Recorde het teken om niet tot vervelens toe de woorden “is gelijk aan” te hoeven herhalen. Hij koos voor twee parallelle lijnen van lengte één “bicause noe 2 thynges, can be moare equalle” (omdat geen twee dingen meer gelijk aan elkaar kunnen zijn). Prachtig toch?

Het fragment uit het boek The Whetstone of Witte waarin Recorde het =-teken (of eigenlijk het ===-teken) introduceert.

Het duurde nog een hele tijd voor het =-teken echt algemeen geaccepteerd was. Er waren allerlei notaties in omloop. Sommige mensen gebruikten twee verticale strepen || (waar Recorde weinig bezwaar tegen zou kunnen hebben, want ook twee staande strepen lijken zeer op elkaar) of ae van het Latijnse aequalis (gelijk). Pas toen grote namen als Newton en Leibniz rond 1700 de twee liggende streepjes gebruikten, raakte het =-teken echt in zwang.

Robert Recorde introduceerde trouwens ook het woord zenzizenzizenzic om achtste machten te noteren. Dat is minder krankzinnig dan het lijkt. In die tijd was er nog geen makkelijke manier om machten te noteren, alles ging met woorden. Fibonacci gebruikte in 1202 al censo di censo voor de vierde macht, censo is Italiaans voor kwadraat. Zenzic is de Duitse versie censo en een achtste macht is te schrijven als het kwadraat van een kwadraat van een kwadraat. Vandaar dus zenzi-zenzi-zenzic. Helaas is zenzizenzizenzic nooit een succes geworden. Misschien kan een rozenkweker een roos deze naam geven, iets zegt me dat zo’n roos nog lekkerder zou ruiken.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

De fascinatie voor voorouders is groot, zoals te zien is aan het grote aantal websites over stamboomonderzoek, en in het tv-programma “Verborgen Verleden”. Daarin gaan bekende Nederlanders op zoek naar voorouders waar een interessant verhaal over te vertellen is. En dat lukt meestal wel, want iedereen heeft een heleboel voorouders, dus vaak ook wel een interessante.

De voorouders van van één persoon kun je schematisch in een zogenaamde “kwartierstaat” zetten. De persoon in kwestie komt helemaal in z’n eentje onderaan. Er gaan twee lijntjes naar boven, naar zijn ouders, en van elke ouder gaan ook weer twee lijntjes naar boven, enzovoort. Op elke horizontale lijn staan dan de voorouders uit een generatie.

Kwartierstaat (plaatje van wikipedia).

Elke generatie verdubbelt het aantal voorouders: iedereen heeft twee ouders, die hebben elk ook twee ouders, enzovoorts. Iedereen heeft vier grootouders, acht overgrootouders, zestien betovergrootouders, 32 betbetovergrootouders, ….

De aantallen voorouders worden snel heel groot. In de tiende generatie boven u zitten al 2¹⁰ = 1024 mensen, in de twintigste 2²⁰ =1.048.576, meer dan een miljoen dus, en in de dertigste generatie maar liefst 2³⁰ = 1.073.741.824, meer dan een miljard.

Laten we aannemen dat een nieuwe generatie voortbrengen zo’n 25 jaar duurt, dan leefde de tiende generatie voor ons ongeveer 250 jaar geleden, de twintigste 500 en de dertigste zo’n 750 jaar. Dat betekent dus dat er in de middeleeuwen ongeveer tegelijkertijd meer dan een miljard voorouders van onszelf moeten hebben rondgelopen. En een generatie eerder zelfs nog twee keer zoveel, enzovoorts. Maar er waren in die tijd helemaal niet zoveel mensen! Dus dat is onmogelijk. Hoe zit dat?

De enige verklaring is dat er in iedere kwartierstaat overlap zit. Uiteindelijk, over vele generaties bekeken, komt het in elke kwartierstaat herhaaldelijk voor dat één en dezelfde persoon (en daarmee natuurlijk meteen al zijn voorouders ook) optreedt als voorouder van twee verschillende latere voorouders. Dat fenomeen heet “kwartierherhaling”. Het gebeurt als mensen getrouwd zijn met familieleden. Denk aan neef-nicht-huwelijken om de bezittingen in de familie te houden, maar ook zonder het zelf te weten kunnen mensen trouwen met (verre) familieleden. Zeker als je voorouders zich in een beperkt gebied ophielden, is de kans op kwartierherhaling groot. En niet alleen groot, het is zelfs onvermijdelijk, zoals we net zonder ook maar enig stamboomonderzoek te doen hebben aangetoond.

En is dat gek, die kwartierherhaling? Helemaal niet, eigenlijk. Bedenk maar eens hoe moeilijk het is om erachter te komen dat iemand verre familie van je is. Nou ken ik toevallig een aantal van mijn achterneven en –nichten, want die woonden in het dorp waar ik ook opgroeide. Maar een stap verder? Dan gaat het over de achterkleinkinderen van broers of zussen van overgrootouders... Laat staan als het om gezamenlijke voorouders in nog veel meer generaties terug gaat! Daar zul je niet snel achter komen. Alleen misschien als iemand dezelfde achternaam heeft. En aangezien in iedere generatie meestal maar één mannelijke voorouder deze achternaam draagt, zul je het overgrote deel van je heel verre familieleden nooit als familie herkennen als je ze tegenkomt. Of als je met ze trouwt.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Toen ik laatst jarig was, trakteerde ik in de koffiepauze op koekjes. Naast mijn schaal stond nóg een traktatie: er was dus een collega op dezelfde dag jarig als ik. Wat is de kans dat dat gebeurt?

Eerst nog even een andere vraag: hoe groot moet een groep zijn om zeker te weten dat er twee mensen op dezelfde dag jarig zijn? Pas in een groep van 366 mensen weten we dat echt zeker: er zijn 365 mogelijke verjaardagen (we vergeten schrikkeldagen voor het gemak even voor de rest van deze column) en meer mensen dan dat, dus er zijn minstens twee mensen die een verjaardag delen.

Maar ook in veel kleinere groepen zijn vaak twee mensen op dezelfde dag jarig. Al vanaf 23 mensen is de kans dat twee mensen in de groep dezelfde verjaardag hebben meer dan 50%. Om een gevoel te krijgen of die orde van grootte klopt: denk maar eens aan een klas waar u in gezeten heeft, waren daarin twee mensen op dezelfde dag jarig? In mijn basisschoolklas wel (en nee, dat was geen tweeling). Zijn er in uw familie twee mensen op dezelfde dag jarig? In mijn familie is dat zo: mijn vriend is op dezelfde dag jarig als mijn tante.

Hoe kunnen we die kans uitrekenen? We beginnen eenvoudig met een groepje van twee mensen, Alice en Bob. De kans dat in dat groepje twee mensen op dezelfde dag jarig zijn is 1/365. Het maakt namelijk niet uit wanneer Alice jarig is, de kans dat Bob dezelfde verjaardag heeft is 1/365.

Voor drie personen (Alice, Bob en Claire) is een andere manier handiger. De kans dat alle drie de verjaardagen verschillend zijn is eenvoudiger uit te rekenen dan de kans dat twee of drie verjaardagen op dezelfde datum vallen. Voor Alice zijn alle 365 verjaardagen toegestaan. De kans dat Alice en Bob op verschillende dagen jarig zijn, is 364/365, want voor Bob mag alleen de verjaardag van Alice niet. De kans dat Claire’s verjaardag ook nog verschilt van die twee gegeven dagen is dan gelijk aan 363/365. De kans dat ze alle drie verschillende verjaardagen hebben is dus gelijk aan: , ruim 99%. De kans dat minstens twee van de drie dezelfde verjaardag hebben, is dus maar klein, minder dan 1%.

Die kans wordt snel groter wanneer de groep groter wordt. Bij 23 personen is de kans dat alle verjaardagen verschillen volgens bovenstaande redenering gelijk aan , dus dan is de kans dat minstens twee van hen dezelfde verjaardag hebben inderdaad iets meer dan 50%.

En wat is de kans dat een collega specifiek mijn verjaardag deelt? Ik heb ongeveer 140 collega’s. De kans dat ze allemaal niet op mijn verjaardag jarig zijn is: . De kans op nog een jarige is dus ongeveer 32%.

Wie graag onverdeelde aandacht krijgt, kan zijn verjaardag dus maar beter in relatief kleine kring vieren, anders is de kans aanwezig dat er gezongen wordt: “Er zijn er twee jarig, hoera, hoera!”

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Toen ik twee weken geleden over het drie-deuren-probleem schreef, was ik eigenlijk bang dat het verhaal te bekend was en dat de Volkskrant-lezers in koor zouden roepen: “Wisselen natuurlijk!” Voor wie even kwijt is wat het probleem is, een korte herhaling. Een kandidate mag kiezen uit drie deuren, achter één deur staat een auto, achter de twee andere staan geiten. Ze kiest een deur. De presentator, die weet waar de auto staat, opent één van de andere deuren en laat zien dat daar een geit staat. (Merk op dat hij altijd een geit kan tonen, welke deur er ook gekozen is.) Dan biedt hij de kandidate aan dat ze nog mag wisselen naar de andere gesloten deur. Heeft dat zin? Zoals ik hier vorige keer schreef, is het verstandig om te wisselen. De kans dat de auto achter de deur van de eerste keus zit is ⅓ en de kans dat de auto achter de andere dichte deur zit is ⅔.

Veel lezers geloofden hier niets van, ik kreeg een recordaantal emails van lezers die dachten dat beide gesloten deuren een kans van ½ hadden. De krant plaatste een brief waarin zelfs werd beweerd dat de overgebleven deuren elk een kans van ⅔ hadden, wat weer een nieuwe regen van reacties opleverde. En op de twee brieven op de opiniepagina de dag daarna kwam weer een hele reeks mails binnen. Laat ik het daarom nog eens op een andere manier proberen uit te leggen.

Ook al lijken twee dingen hetzelfde, de kansen hoeven niet 50/50 zijn. Een collega van mij demonstreerde dit door me te laten raden wanneer hij jarig is. Ik gokte op 8 oktober en hij antwoordde dat hij op 8 oktober óf 18 augustus jarig is. Wilde ik dan bij mijn eerste gok blijven, of ging ik toch liever voor 18 augustus? In dit geval zal (hopelijk) niemand denken dat de beide data precies dezelfde kans hebben. Zoiets gebeurt ook bij het drie-deuren-probleem.

Eerst nog iets over de verborgen aannames. Elk van de drie deuren heeft aan het begin evenveel kans heeft om de auto te bevatten. Iets subtieler is dat we aannemen dat als de presentator uit twee deuren met geiten kan kiezen, hij er willekeurig één kiest (en bijvoorbeeld niet altijd de dichtstbijzijnde). Onder deze voorwaarden geeft wisselen een twee keer zo grote winkans.

Ik speelde het spel op de site van de New York Times (zie link hieronder) 200 keer: 100 keer met wisselen en 100 keer zonder. Zeer overtuigend resultaat, toch?

Als de kandidate één van de drie deuren kiest, dan heeft ze ⅓ kans op de auto en die kans blijft hetzelfde als ze niet wisselt. Bij wel-wisselen zijn er drie mogelijkheden:

1. Ze kiest geit A, presentator toont geit B, ze wisselt naar de auto.
Ze kiest geit B, presentator toont geit A, ze wisselt naar de auto.
Ze kiest de auto, presentator toont een geit, ze wisselt naar de andere geit.

Ze heeft dus een kans van 2 op 3 om te winnen als ze wisselt.

Wie het nu nog niet gelooft (en ik weet zeker dat er weer mensen tandenknarsend van ergernis achter de krant zitten), kan het eens domweg uitproberen. Verschillende lezers suggereerden om het spel thuis honderd keer na te spelen met een huisgenoot, ondoorzichtige bekers en muntjes. Bij wisselen zul je ongeveer 67 keer winnen, bij niet-wisselen 33 keer. Hoe vaker je speelt, hoe duidelijker de kansverdeling wordt. Voor wie geen huisgenoot (of geduld) heeft: probeer de online-simulatie van de New York Times. Zien is geloven. Eén lezer zag trouwens mogelijkheden om geld te verdienen door tegen overtuigde niet-wisselaars te spelen. Als ik een casino had zou ik dat idee zeker gebruiken.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

In deze maand van de filosofie gaat het zelden over wiskunde. Vroeger waren veel filosofen wiskundigen (en andersom), maar tegenwoordig lijkt er een strikte scheiding te zijn tussen de vakgebieden. Dat is jammer, want wiskunde kan nog steeds helpen om anders en beter tegen dingen aan te kijken.

Het drie-deuren-probleem is een berucht voorbeeld onder wiskundigen. In een spelshow mag een kandidate kiezen uit drie deuren. Achter één deur staat een prachtige auto, achter de twee andere deuren staan mottige geiten. De kandidate wil graag de auto winnen en wijst één van de deuren aan. De presentator, die precies weet waar de auto staat, opent één van de andere twee deuren en laat zien dat daar een geit staat. De presentator vraagt de kandidate hoe zeker zij is van haar keus. Wil ze misschien nog van deur wisselen? Ze mag nu nog de andere gesloten deur kiezen! Heeft het op dit moment zin om te wisselen?

Stel dat deze situatie niet hypothetisch is. Bijvoorbeeld in de Amerikaanse quiz Let's make a deal.

Bijna iedereen denkt hier hetzelfde: “Natuurlijk maakt het niet uit of ze wisselt. Er zijn nu nog twee deuren en elke deur heeft een kans van 1/2 op de auto.” Intuïtief lijkt volkomen duidelijk dat er geen verschil is tussen die twee deuren. De kandidate zal waarschijnlijk bij haar eerste deur blijven, omdat ze daar in eerste instantie een goed gevoel bij had.

En dat is jammer, want de menselijke intuïtie zit er in dit geval behoorlijk naast. Als de kandidate van deur wisselt heeft ze namelijk 2/3 kans om te winnen. Als ze bij haar eerste deur blijft, is de kans om te winnen maar 1/3. Ze verdubbelt dus haar winkans als ze wisselt.

Toen dit probleem voor het eerst in de krant stond, werd de redactie bedolven onder grote stapels brieven. Lezers, waaronder grappig genoeg diverse wiskundigen, beweerden op hoge toon dat er niets van het antwoord klopte. Maar het klopt echt. De kandidate heeft als ze níet wisselt een kans van 1/3 om te winnen. Ze wint dan alleen als ze gelijk aan het begin die ene deur aanwijst waar de auto achter staat. Als ze wel wisselt, dan wint ze juist als ze oorspronkelijk een deur met een geit had aangewezen. En die kans is 2/3.

Wie het niet gelooft moet het thuis maar eens een paar keer naspelen. Het helpt ook om aan een variant met duizend deuren te denken. Als de presentator na de keuze 998 deuren opent (met een hele kudde geiten erachter), is het een stuk duidelijker dat de kandidate maar beter kan wisselen.

Dit voorbeeld laat zien hoe menselijke intuïtie het mis kan hebben. Wel zo handig om te weten voor filosofen. Een hoogleraar vertelde ooit dat hij dit probleem al jaren bij zijn college statistiek behandelde. Wiskundigen, economen, artsen, juristen, ze hadden het allemaal in eerste instantie fout. Aan het eind van zijn college was altijd iedereen overtuigd van het juiste antwoord. Behalve de juristen, die bleven erover in discussie gaan. Wat dat over hen zegt, is dan weer meer iets voor filosofen dan wiskundigen.

PVV-kamerlid Lilian Helder veroorzaakte vorige week ophef toen ze in de Tweede Kamer probeerde uit te leggen waarom haar partij vindt dat zwaardere straffen nodig zijn. Haar opponent haalde onderzoeken aan naar de effectiviteit van taakstraf ten opzichte van celstraf, en daaruit blijkt: na een taakstraf is de recidive kleiner dan na een celstraf. Helders reactie was tenenkrommend. Hieronder een paar van haar uitspraken, en tegelijk een korte inleiding in statistisch onderzoek.

“Die onderzoeken, ik vind het een beetje appels met peren vergelijken. (…) Iemand die een taakstraf opgelegd heeft gekregen en recidiveert, is wel iemand anders dan die een vrijheidsstraf opgelegd heeft gekregen en recidiveert. Diegene heeft een vrijheidsstraf ondergaan en geen taakstraf.”

Ja. Maar niet alleen in onderzoek naar recidivisten, in alle sociaal-wetenschappelijke statistische onderzoeken worden mensen met elkaar vergeleken, juist mensen die op een bepaald punt verschillen (rokers en niet-rokers, bijvoorbeeld).

Ze zegt ook: “Iemand die een vrijheidsstraf heeft ondergaan, misschien zou die anders gehandeld hebben wanneer die een taakstraf had ondergaan. Dat kunnen we niet meten, want hij heeft geen taakstraf ondergaan, hij heeft een vrijheidsstraf ondergaan.”

Dit is een redenering van het type: we kunnen niet meten of iemand die al dertig jaar lang elke dag een pakje sigaretten rookt óók longkanker gekregen zou hebben als hij dat niet gedaan had. Klopt. Daarom kijkt statistisch onderzoek naar groepen mensen, en niet naar individuen.

Als twee groepen mensen alleen van elkaar verschillen in rookgedrag, en rokers krijgen veel vaker longkanker dan niet-rokers, dan zijn we terecht geneigd die correlatie te aanvaarden, en zelfs te geloven in een oorzakelijk verband. Dat is hoe de oorzaken van ziektes aannemelijk worden gemaakt, hoe effectiviteit van medische behandelingen wordt aangetoond, enzovoorts.

Gelukkig vielen andere Tweede Kamerleden ook van verbazing van hun stoel: “Gelooft mevrouw Helder überhaupt niet in statistisch onderzoek?” Maar dat blijkt niet zo te zijn: “Dat vind ik nou echt appels met koeien vergelijken en iets er met de haren bijtrekken. (…) Persoon A is niet met persoon B te vergelijken. Dat is toch iets heel anders dan meetbare resultaten van succes van een medische weet ik veel wat u allemaal erbij wil gaan halen.” Nou, nee.

Wat Helder niet zegt, maar wat ze hopelijk bedoelt, is dat de rechter die de straf oplegt misschien naar persoonskenmerken, of de sociale situatie, of andere eigenschappen van de verdachte kijkt, en aan de hand daarvan bepaalt welke straf opgelegd wordt. Dan zou het kunnen zijn dat de groep mensen die een taakstraf krijgt anders van samenstelling is (en sowieso al minder vaak recidiveert) dan de groep die voor eenzelfde delict een celstraf krijgt. Maar als Helder reden heeft om te vermoeden dat de onderzoekers daar te weinig rekening mee gehouden hebben, moet ze dáárover praten.

Sharon Gesthuizen (SP) is in ieder geval geschokt: “Ik vind het heel erg verdrietig eigenlijk dat ik op deze manier moet debatteren.”

Ik vind het niet alleen verdrietig, ik vind het zelfs een beetje eng. Als politici statistisch onderzoek zonder goede argumenten de deur uitdoen, blijft alleen het onderbuikgevoel nog over.

Hieronder het filmpje op youtube:

Ype en Willem maakten een grappige fotostrip over deze kwestie.

Deze column verschijnt vandaag in De Volkskrant.

Eens in de zoveel tijd krijg ik een brief van een onbekende die beweert dat hij een beroemd wiskundig probleem heeft opgelost. Vaak is de toon van de brief zelfingenomen, de notatie onnavolgbaar en het bewijs onjuist. Ik vind het altijd lastig om te reageren op dit soort brieven. Het kost ontzettend veel tijd om de onorthodoxe redeneringen te volgen en nog meer tijd om er een zinvolle reactie op te geven. Het is verleidelijk om dat soort brieven maar gewoon te negeren. Maar ik vind het tegelijk belangrijk om buitenstaanders serieus te nemen en te laten zien dat wiskundigen niet in een ivoren toren zitten. Daarnaast is er altijd de kleine kans dat je het werk van een genie in de prullenbak gooit.

Hier zouden wiskundigen het bewijs van de Riemann-hypothese kunnen vinden, als ze hun oogkleppen eindelijk eens afdeden

De in 1947 overleden wiskundige G.H. Hardy liet de wiskundige gemeenschap veel na: een hele reeks resultaten en het prachtige boekje Apologie van een wiskundige (dat deze maand overigens voor het eerst in het Nederlands verschijnt). In die apologie betoogt Hardy dat wiskunde alleen voor jonge mensen is en dat echte wiskunde nutteloos is. Die twee ideeën leven nog steeds onder veel wiskundigen.

Maar Hardy’s belangrijkste verdienste is waarschijnlijk dat hij het genie in Srinivasa Ramanujan herkende. De Indiër Ramanujan raakte als scholier in de ban van wiskunde. Hij blonk uit, maar verwaarloosde zijn andere vakken zo erg dat hij de universiteit moest verlaten. Uiteindelijk vond hij een baantje als klerk en deed hij wiskunde in zijn vrije tijd.

De Indiase klerk schreef rond 1913 verschillende Britse wiskundigen over zijn ontdekkingen. Eén professor antwoordde dat Ramanujan wel aanleg had voor wiskunde, maar de basis miste om door andere wiskundigen geaccepteerd te worden. Twee anderen stuurden zijn brief zonder commentaar terug. In eerste instantie legt ook G.H. Hardy de brief van Ramanujan terzijde. De vellen stonden vol bizar uitziende formules, een enkele daarvan was al bekend. Nergens stonden bewijzen. In een latere brief van Ramanujan stond bijvoorbeeld de op het eerste gezicht absurde conclusie dat 1+2+3+4+… = -1/12 (wat na jaren wiskundige studie wel degelijk een zinvolle vergelijking blijkt).

Ramanujan tussen een aantal van zijn formules

De gewaagde stellingen van Ramanujan zetten Hardy aan het denken. De Indiër moest óf een geniale bedrieger zijn, óf een onontdekte wiskundige. Hij besloot dat de kans op een zo slimme bedrieger wel heel klein was en haalde Ramanujan naar Engeland. Ramanujan bleek inderdaad zeer getalenteerd: Hardy vergeleek hem met grote namen als Euler, Gauss, Newton en Archimedes. Tragisch genoeg overleed Ramanujan al op zijn drieëndertigste. (Het moet voor Hardy een schrale troost zijn geweest dat hij geloofde dat wiskundigen hun beste werk doen vóórdat ze dertig zijn.)

Het talent van Ramanujan is een extreme zeldzaamheid. Ik vind het knap dat Hardy de brief van de Indiër ontdekte tussen de stapel onzinnige brieven die hij kreeg. Ik weet zeker dat ik de briljantie van Ramanujan niet zou hebben herkend. Onontdekte genieën kunnen hun ideeën dus maar beter naar iemand anders sturen.

Een ouderwetse fietslamp heeft een interessante vorm: als je een dwarsdoorsnede neemt, zie je een parabool. Datzelfde geldt voor schotelantennes, al zijn die iets platter. Waarom hebben deze objecten nou juist een parabool als dwarsdoorsnede, en niet een andere boog of gewoon een stukje van een cirkel? En wat is een parabool eigenlijk precies?

Het leuke is dat er drie verschillende manieren zijn om te beschrijven wat een parabool is. Deze drie manieren betekenen alle drie hetzelfde, maar dat is niet direct te zien.

De eerste is misschien de bekendste, of in ieder geval zoals ik het zelf op school geleerd heb: een parabool is de grafiek die je krijgt bij een kwadratische functie als y = x² of y = -2x² + 3x - 7. De grafiek ziet eruit als een boog.

De tweede manier klinkt wat ingewikkelder. Stel je hebt een vast punt (het “brandpunt”) en een gegeven lijn op een vel papier. Als je dan alle punten tekent die precies even ver van het brandpunt als van die lijn af liggen, dan krijg je een parabool.

1: parabool, 2: ellips en cirkel, 3: hyperbool

De derde manier vind ik de leukste, omdat je beter ziet wat er gebeurt. Een parabool is één van de zogenaamde kegelsneden, die al door de oude Grieken bestudeerd werden. Als je een dubbele kegel doorsnijdt met vlakken, zoals in het plaatje te zien is, dan krijg je verschillende figuren: een cirkel, ellips, parabool of hyperbool (ook een bepaald soort boog). De parabool is de figuur die je krijgt als grensgeval tussen de ellips en de hyperbool.

Dit kun je zelf zien door een kegelvormige lichtbundel (een zaklamp of spotje bijvoorbeeld) op de muur te laten schijnen. Als je de bundel recht op de muur richt, zie je een cirkel. Als je hem een klein beetje omhoog richt, zie je een ellips. Nog iets verder omhoog gericht is de figuur die je ziet niet meer gesloten, en meer omhoog schijnen levert vanaf dat moment steeds een hyperbool op. Maar op het overgangsmoment tussen de ellips en de hyperbool, het moment dat je de lamp zó houdt dat de zijkant van de lichtkegel precies parallel loopt aan de muur, dan zie je een parabool.

Terug naar de fietslampen en schotelantennes. Hun vorm heet een paraboloïde: de drie-dimensionale figuur die onstaat als een parabool om zijn as gedraaid wordt. Die parabolische vorm heeft een bijzondere eigenschap. Als je zo’n paraboloïde bekleedt met spiegelend materiaal en je zet een lampje in het brandpunt van de parabool, dan wordt het licht zó gereflecteerd dat de lichtstralen die eruitkomen evenwijdig zijn. Dat is fijn bij een fietslamp.

Voor een schotelantenne geldt precies het omgekeerde: wanneer de evenwijdige microgolfstralen op de schotel vallen, worden ze door de schotel zó gereflecteerd dat ze allemaal in het brandpunt uitkomen. De ontvanger wordt in het brandpunt geplaatst, en zo komen alle signalen die door de schotel opgevangen worden netjes in de ontvanger terecht.

De oude Grieken kenden die eigenschap van parabolische spiegels al, al hebben ze er waarschijnlijk nooit een gemaakt, laat staan een schotelantenne.

Deze column verschijnt vandaag in De Volkskrant.

Van wiskunde op de middelbare school herinneren veel mensen zich maar twee dingen: de stelling van Pythagoras en de wanhopige vraag waar al die sommen goed voor zijn. Mijn eigen wiskundedocent had helaas nooit een erg bevredigend antwoord op die vraag. En dat terwijl je alleen de stelling van Pythagoras al kunt gebruiken bij het maken van een boomhut of het bestellen van pizza’s.

De eeuwenoude stelling gaat over een rechthoekige driehoek. In zo’n driehoek is het kwadraat van de lengte van de schuine zijde gelijk aan de kwadraten van de lengtes van de twee rechthoekszijden bij elkaar opgeteld. Oftewel: (waarbij en de lengtes van de rechtshoekzijden zijn en de lengte van de schuine zijde).

Een plaatjesbewijs voor de stelling van Pythagoras

Op school wordt de stelling vooral gebruikt om de lengte van zijden te bepalen in allerlei driehoeken, parallellogrammen en andere figuren. Maar de stelling van Pythagoras kan ook nuttig zijn bij meer alledaagse problemen, bijvoorbeeld bij het maken van een boomhut (of een hekje, of een schuurtje). Ze helpt je namelijk om zonder geodriehoek of winkelhaak een perfecte rechte hoek te construeren. Je hebt alleen een stukje touw nodig, een mes en iets om mee te meten. Snijd drie stukken touw af van 30, 40 en 50 centimeter en leg deze stukken in een driehoek. De hoek tussen de stukken van 30 en 40 centimeter is nu een rechte hoek, dus daarmee kun je je de wanden van je boomhut keurig haaks op elkaar spijkeren. De driehoek van touw heeft zijden van 30, 40 en 50 centimeter en (dus ).

Scherpe lezers zullen opmerken dat je eigenlijk niet eens touw nodig hebt voor deze truc. Alleen iets om te te meten is ook al genoeg. Nog scherpere lezers zullen opmerken dat hierbij niet de stelling van Pythagoras wordt gebruikt, maar haar omkering. Als namelijk in een driehoek met zijden en geldt dat , dan is het een rechthoekige driehoek. Dat vertellen ze helaas bijna nooit op de middelbare school.

En wat ze al helemaal niet vertellen is dat je de formule ook kunt gebruiken voor andere vormen dan driehoeken, bijvoorbeeld voor cirkels. Stel dat je in een pizzeria twijfelt: op de kaart staan pizza’s met een diameters van 18, 24 en 30 centimeter. Je bent met een groep en vraagt je af of je beter twee kleine pizza’s kunt nemen of één grootte. Maar dan bedenk je dat . En dat betekent dat de twee pizza’s van 18 en 24 centimeter samen precies even groot zijn als één pizza van 30 centimeter (reken het maar na). Waarschijnlijk ben je een stuk goedkoper uit met één grote pizza. Daar is wiskunde dus goed voor.