Wiskundemeisjes

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Een tijdje geleden deed ik een “wisquiz” met mijn brugklasleerlingen. Ik stelde onder andere de vraag: wat zijn de drie volgende getallen in het rijtje 1, 4, 9, 16, … ?

Nou kun je strikt gezien bij elke willekeurige drie volgende getallen een wiskundige regel verzinnen die precies die getallen oplevert, maar mijn leerlingen gingen druk op zoek naar een niet al te ingewikkeld patroon, en ze vonden er een. Àlle groepjes noemden als volgende drie getallen 25, 36 en 49. Bij navraag naar het patroon dat ze gevonden hadden, zeiden ze: “Nou, eerst hebben we 1, dan doe je er 3 bij, dan 5, dan 7 en zo verder, dus je doet steeds het volgende oneven getal erbij.” Klopt helemaal.

Maar misschien denkt u verbaasd: “Hè, maar dat zijn toch gewoon de kwadraten?” Klopt ook: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9 en 4² = 16. Dat is grappig. Mijn brugklasleerlingen hadden nog niet geleerd wat een kwadraat is. Wat blijkbaar hun gebruikelijke aanpak is bij zo’n rijtjes-afmaak-som, is kijken naar de verschillen tussen opeenvolgende getallen en of daar een duidelijke regelmaat in zit. En die hadden ze gevonden.

Nou is het op het eerste gezicht best gek dat de regelmaat van mijn leerlingen (steeds het volgende oneven getal erbij optellen) en de regelmaat die mijzelf onmiddellijk in het oog springt (de rij van kwadraten) dezelfde drie volgende getallen opleveren. Dus dan kun je je afvragen: is dat toeval? Of geven deze twee manieren ook bij het vierde, vijfde, zesde, en honderdmiljoenste getal dezelfde antwoorden?

Bij de regel van mijn leerlingen tel je achtereenvolgens bij het getal 1 op: 3, 5, 7, 9, enzovoorts. Het achtste getal in het rijtje is dus de som (optelling) van de eerste acht oneven getallen. Algemeen geformuleerd: het n-de getal in het rijtje is de som van de eerste n oneven getallen, wat voor nummer n ook is. Maar als we het rijtje voortzetten met de kwadratenregel, is het n-de getal in het rijtje het kwadraat van het getal n, oftewel n².

De vraag is dus: zijn die rijtjes inderdaad hetzelfde, oftewel: is de som van de eerste n oneven getallen gelijk aan n², voor alle n? Ja, dat is zo, en het is zelfs redelijk eenvoudig om in te zien waarom! Een simpele serie plaatjes laat zien wat er gebeurt.

We beginnen met het getal 1: dat ene roze vierkantje linksboven. Vervolgens tellen we daar 3 bij op, in het plaatje daaronder aangegeven door drie roze vierkantjes. Die drie vierkantjes zijn zó neergelegd, dat er precies een vierkant van 2 bij 2 ontstaat, dus je ziet meteen dat daar 2² vierkantjes liggen. En zo gaan we verder. Als er een vierkant ligt van n bij n vierkantjes, dat dus uit n² vierkantjes bestaat, dan moeten we n + n + 1, oftewel 2n+1 vierkantjes erbij leggen om het volgende kwadraat te leggen. En 2n+1 is precies het volgende oneven getal.

Maakt u zich trouwens vooral geen zorgen: inmiddels weten mijn leerlingen ook wat kwadraten zijn.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Vorige week moest ik weer eens heel lang wachten op tram 9. (Het begin van deze column is trouwens gelogen. Ik ben sinds kort moeder en het lukt me nauwelijks om een rondje door Leiden te lopen. Laat staan dat ik de trein naar Amsterdam neem om daar een beetje op tram 9 te wachten. Maar ik geef deze columns graag een schijn van actualiteit, daarom schrijf ik “vorige week” in plaats van “een paar maanden geleden”.) Toen eindelijk de juiste tram de hoek omkwam, zag ik dat erachteraan gelijk nóg een tram 9 kwam. Was dit na de OV-chipkaart een nieuwe manier om reizigers te pesten? Een dienstregeling met na een lange tussenpoos steeds twee trams achter elkaar? Of voelden de tramchauffeurs zich niet meer veilig na alle PVV-retorica en durfden ze alleen samen op pad?

In de tram bedacht ik echter dat het onvermijdelijk is dat trams regelmatig op deze manier samenklonteren. Stel dat de trams normaal tien minuten na elkaar rijden. Als een tram op de een of andere manier vertraging oploopt (met toeristen die moeizaam vragen of deze tram naar de Dam rijdt, een fietser die in de rails klemzit of een verhuisbusje dat op de trambaan wordt uitgeladen), dan verzamelen zich bij zijn volgende haltes iets meer passagiers. De tram komt daar immers wat later en dus hebben mensen langer de tijd om aan te komen bij de halte. Vervolgens duurt het instappen wat langer, waardoor de tram nog meer vertraging oploopt. Waardoor bij de volgende haltes weer meer mensen zullen staan te wachten. Waardoor het instappen nóg langer duurt, enzovoorts. Het is een proces dat zichzelf versterkt. De eerste tram na de vertraagde tram heeft het extra makkelijk, want daarop staan juist minder passagiers te wachten. Deze tram zal dus juist een beetje inlopen op zijn schema. En op een gegeven moment zullen de twee trams pal achter elkaar rijden. 

Het grappige is dat passagiers het verschijnsel alleen maar erger maken. Let maar eens op, bij twee trams die achter elkaar rijden, probeert iedereen in de voorste te stappen. Meestal staat het complete gangpad daar bomvol, terwijl de tweede tram vrijwel leeg is. 

Er is ook weinig aan te doen: meer trams inzetten helpt niet. Een dienstregeling waarbij de tram af en toe een paar minuten bij een halte wacht helpt wel. Dan heeft de tram een buffer en kan hij die paar minuten wachten overslaan als hij vertraging heeft opgelopen. Maar zo’n dienstregeling is waarschijnlijk irritanter voor passagiers dan af en toe een duo-tram.

Bussen hebben last van hetzelfde verschijnsel, maar bij treinen zie je er bijna nooit twee pal na elkaar rijden. Misschien doordat er meer tijd voor het instappen is ingepland, of doordat er minder haltes zijn, of doordat de dienstregeling bij een beetje vertraging als snel compleet in de soep loopt. Gelukkig heb ik dáár ook weinig last van tijdens mijn zwangerschapsverlof.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

In de weersverwachting van de komende vijf dagen staat altijd per dag een neerslagkans, keurig als een percentage. “Zaterdag 60% kans op neerslag”, bijvoorbeeld. Kansen worden namelijk in percentages uitgedrukt, of in een getal tussen 0 en 1 (een kans van 25% komt overeen met een kans van 0,25).

Soms is het duidelijk wat een kans betekent. Als je met een eerlijke dobbelsteen gooit, dan zul je na heel vaak gooien in één op de zes gevallen een 4 gegooid hebben. De kans op een 4 is dus 1/6 (ongeveer 17%).

Maar ik heb me wel eens afgevraagd wat die neerslagkansen nou eigenlijk betekenen. Als richtlijn werken ze prima, en dat is natuurlijk waar ze voor zijn. Maar als wiskundige wil ik het graag preciezer weten. Betekent 60% kans op neerslag dat de kans 60% is dat het vandaag ergens in het land gaat regenen of sneeuwen? Dat lijkt me niet. Als er in Zuid-Limburg een wolkbreuk aankomt, maar in de rest van het land schijnt de zon, wil je eigenlijk niet dat de neerslagkans heel hoog is. Ik vermoed dat het betekent dat een willekeurige plek 60% kans op neerslag heeft. Of betekent het dat het in 60% van het land zal gaan regenen? Of dat in ongeveer 60% van de tijd neerslag naar beneden komt? Dat zou ook kunnen.

Wat het weer gaat zijn, is sowieso moeilijk te berekenen. Daar zitten heel ingewikkelde modellen achter, en soms voorspellen verschillende modellen iets anders uit dezelfde gegevens. Wat bedoelt het KNMI dan met zo’n percentage?

Ik ben dus even gaan rondneuzen op de site van het KNMI, waar inderdaad extra uitleg te vinden is. Het weer voorspellen kan nooit met absolute zekerheid, maar soms zijn er dagen waarop de weerkundigen vrijwel zeker weten dat het gaat regenen of juist niet, en op andere dagen is er meer twijfel. Het KNMI schrijft: “Om die mate van onzekerheid aan te geven wordt de kans op neerslag aangegeven in een percentage.” Omdat er altijd enige onzekerheid is, is dat percentage vrijwel nooit 0 of 100.

Wat ook snel duidelijk wordt: de neerslagpercentages gelden voor een willekeurige plaats in Nederland. Als de kans op neerslag 90% is, is het vrijwel zeker dat er op de plek waar ik ben wat naar beneden komt. Als die kans maar 10% is, blijft het vrijwel zeker overal droog. Bij een kans van 50% kan het op een willekeurige plaats net zo goed droog zijn als regenen of sneeuwen, daar zijn de voorspellingen niet duidelijk over. Over hoeveelheden en tijdsduur van de regen zegt het percentage dus niets. Tegenwoordig staat de neerslaghoeveelheid daarom óók vermeld in de verwachtingen.

Op het moment dat ik dit schrijf, voorspelt het KNMI voor de week dat deze krant verschijnt: “70% kans op aanhouden van het kwakkelweer, 30% kans op vrij zacht weer”. Ik hoop dat het het laatste is geworden, want die sneeuw ben ik inmiddels behoorlijk zat. En dat weet ik wèl zeker.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Ongetwijfeld wordt deze kerstvakantie A beautiful mind weer eens herhaald op televisie. Deze Oscarwinnende film beschrijft het leven van wiskundige John Nash. Hij deed op jonge leeftijd briljant werk, maar kreeg paranoïde schizofrenie en was tientallen jaren in de ban van waanideeën. Hij herstelde na dertig jaar van zijn ziekte en ontving op 66-jarige leeftijd de Nobelprijs voor Economie voor zijn jeugdwerk. Een prachtig verhaal voor een feel-good-movie natuurlijk. Alleen jammer dat A beautiful mind soms wat weinig lijkt te begrijpen van wiskunde.

Zo probeert de film in een barscène Nash’s belangrijkste idee uit te leggen. Wie de film heeft gezien, herinnert zich het vast: Nash zit met een groepje vrienden in de kroeg en ze zien een groepje vrouwen. Eén vrouw (een blondine) is het mooiste, haar vriendinnen (brunettes) zijn iets minder aantrekkelijk. De vraag is nu wat de beste strategie is voor de vrienden om deze vrouwen te versieren, onder de aanname dat elke man het liefste de blondine wil, maar dat een brunette beter is dan geen vrouw.

De kroegtijgers uit A beautiful mind

De vrienden van Nash willen in eerste instantie allemaal tegelijk op de blondine afgaan om haar te versieren. Maar Nash werpt tegen dat dit een domme strategie is: de blondine zal arrogant worden en hen stuk voor stuk afwijzen. Daarna hebben de brunettes geen zin om tweede keus te zijn, dus uiteindelijk gaat iedereen alleen naar huis. Nash heeft een beter idee. Als nu eens niemand op de blondine afgaat, maar alle mannen gelijk op een brunette afstappen. Dan zijn hun kansen op succes veel groter! En een brunette is immers beter dan niets.

De film probeert hiermee het Nash-evenwicht te illustreren, een begrip uit de speltheorie. Kort door de bocht heb je in speltheorie een aantal spelers die elk een doel hebben (in dit voorbeeld is dat een zo mooi mogelijke vrouw versieren). Elke speler kan kiezen uit verschillende strategieën en weet niet wat de anderen doen. Hij moet met beperkte informatie een zo goed mogelijke strategie kiezen.

Nash bewees dat er (onder bepaalde voorwaarden) een evenwichtssituatie bestaat, waarbij elke speler zijn strategie niet meer kan verbeteren - ook niet als hij wél zou weten wat de anderen doen. Deze situatie wordt het Nash-evenwicht genoemd en dit is precies het werk waarvoor hij zijn Nobelprijs kreeg.

Waar gaat A beautiful mind nu de fout in? Het probleem bij de strategie die Nash in de film voorstelt, is dat het helemaal geen evenwicht is: elke man kan zijn strategie verbeteren door als enige op de blondine af te stappen. Een strategie die wel een Nash-evenwicht is, is bijvoorbeeld dat één man op de blondine afstapt en de anderen op de brunettes. En wie de mooiste vrouw dan krijgt? Dat ligt nogal voor de hand: de aantrekkelijkste man.

Aan het einde van de kroegscène lijkt Nash trouwens sjans te hebben met de blondine. Maar hij rent terug naar zijn kamer omdat hij liever verder wil werken aan zijn wiskunde. Dat hebben de filmmakers dan weer wel goed begrepen van wiskundigen.

Voor sommige lezers begint Sinterklaas al vroeg (al zal de verzending waarschijnlijk pas na Sinterklaas gebeuren): de winnaars van de weggeefactie van het mooie boek Vallende Kwartjes, de bloemlezing die Ionica met Bas Haring maakte van fragmenten met heel goede uitleg van allerlei wetenschappelijke wetenswaardigheden!

Met de randomgenerator heb ik weer drie willekeurige getallen getrokken en de geluksvogels zijn...
Jan Paul (die blijkbaar gisteren jarig was, dubbel gefeliciteerd!),
mathematiker (gelukkig zal Vallende Kwartjes niet eens in je broekzak passen, laat staan eruit vallen) en
jonas (voor wie de kwartjes dankzij dit mooie boek hopelijk wat sneller vallen)!

Als je een van deze drie winnaars bent: mail ons zo snel mogelijk je postadres, en geniet ervan.

Voor de verliezers: zet het snel nog op je verlanglijstje voor Sinterklaas of Kerst!

Aanvulling: Jan Paul blijkt het boek inmiddels al te hebben en biedt zijn exemplaar aan een andere winnaar aan. De randomgenerator heeft Paul (die met de hoofdletter, niet die zonder hoofdletter) aangewezen als gelukkige!

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Ik heb een kleine obsessie voor bepaalde koppen in het wetenschapsnieuws in de krant en (vooral!) op internet. Denk aan koppen als “Drink More Diet Soda, Gain More Weight”, waarin een bepaald verband tussen twee fenomenen wordt genoemd, maar tegelijkertijd de suggestie gewekt wordt dat er een oorzakelijk verband bestaat tussen het een en het ander.

De kop lijkt te zeggen dat het drinken van light-frisdranken ervoor zorgt dat je zwaarder wordt, wat natuurlijk onzin is. Er bestaat wel een correlatie tussen aankomen en light-frisdrank drinken, maar de oorzaak-gevolg-relatie ligt precies andersom: mensen die zwaarder worden, zullen eerder de neiging hebben light-frisdrank te nemen.

Denkfouten als deze liggen op de loer als je het verschil tussen correlatie en causaliteit niet genoeg in acht neemt. Als twee fenomenen vaak samen optreden (correlatie), betekent dat niet per se dat het één het ander veroorzaakt (causaliteit). Deze drogreden heeft een mooie naam: cum hoc ergo propter hoc (Latijn voor: met dit, dus vanwege dit).

Er zijn verschillende andere mogelijkheden: misschien veroorzaakt het ander juist wel het één, zoals in het voorbeeld hierboven. Soms is een correlatie gewoon toeval. En soms zijn er een heleboel onoverzichtelijke andere factoren die invloed hebben, zoals bij correlaties in de complexe wereldeconomie.

Of misschien, en dat vind ik de leukste optie: misschien is er een duidelijke derde factor die de beide fenomenen veroorzaakt. Een klassiek voorbeeld is de correlatie tussen het aantal ingezette brandweerlieden en de schade die een brand veroorzaakt. Veroorzaken veel brandweermannen de grotere schade? Nee, natuurlijk niet. Er worden meer brandweermannen ingezet omdat het een grote brand is, en een grote brand levert meer schade op. Maar in veel gevallen ligt het wat subtieler en zie je niet meteen wat er niet klopt.

Een mooi voorbeeld hoorde ik een tijd geleden in een lezing van voedingswetenschapper Martijn Katan. Hij vertelde over een onderzoek dat uitwijst dat er een correlatie bestaat tussen het risico op dementie en weinig sporten, met als bijbehorende kop: “Sporten doet risico op dementie verminderen”. Maar het zou ook kunnen dat beginnende dementie ervoor zorgt dat je weinig sport. Of er zou een derde factor kunnen zijn, bijvoorbeeld ongezond leven (roken, veel alcohol drinken, vet eten), die vaak samengaat met weinig sporten en bovendien een risicofactor is voor dementie.

Als ik zo’n kop lees, vind ik het leuk er zelf mogelijke derde factoren bij te verzinnen. Gewoon als gedachte-experiment, om eens te kijken hoe waarschijnlijk zo’n verband nou eigenlijk is als je alleen je gezonde verstand gebruikt. Met als bijeffect dat je het artikel kritischer gaat lezen. En vaak blijkt dan tijdens het lezen dat het verband wat subtieler ligt dan de kop suggereert. Soms zal er natuurlijk wèl een oorzakelijk verband zijn, maar daar heb je meer argumenten voor nodig dan het optreden van een correlatie alleen.

Ik denk overigens wel dat er een causaal verband bestaat tussen mijn wiskundige achtergrond en mijn obsessie met deze denkfout. Of zou ook daar een derde factor in het spel zijn? Hmmm.

Je hebt nog een week de tijd om hier mee te dingen naar een exemplaar van Vallende Kwartjes, de bloemlezing die ik samen met Bas Haring maakte. Als je eerst iets meer wil weten over het boek, of als je een mooi proefje met een kaars wilt zien, dan staat hieronder een promofilmpje.

Ja, beste lezers, we zijn echt gestopt. Heel incidenteel, bij hoge uitzondering, komt er echter iets zo bijzonders langs dat we het toch even onder de aandacht moeten brengen (zeker als het over onszelf gaat, natuurlijk).

Vandaag komt een bijzonder boek uit: Ionica heeft samen met Bas Haring een bloemlezing gemaakt met een heleboel fragmenten waarin wetenschappelijke ideeën op een uitzonderlijk heldere manier worden uitgelegd. De titel is dan ook "Vallende kwartjes". Een must voor iedere liefhebber van wetenschap. Hier kun je een interview met Ionica lezen over het boek.

En het goede nieuws is: we mogen van de uitgever drie exemplaren verloten onder onze lezers! De procedure werkt als vanouds: laat een reactie achter bij dit bericht waarin je omschrijft waarom je dit boek graag zou willen hebben. Noem bijvoorbeeld een kwartje dat op een bepaald moment eindelijk viel, of juist een wetenschappelijk idee waar je nog steeds helemaal niets van begrijpt, omdat niemand het goed kan uitleggen. Je kunt reageren tot 30 november en dan zwengel ik de randomgenerator aan om de drie geluksvogels te selecteren. En als je niet gewonnen hebt, is er nog net genoeg tijd om het alsnog op je verlanglijstje voor sinterklaas te zetten!

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

In het vrolijke boek Superslimme dieren laat Jan Paul Schutten zien hoe snugger dieren zijn. De spinkrab verkleedt zich om onzichtbaar op te gaan in zijn omgeving, franjeapen stelen houtskool van de barbecue tegen maagklachten en vuurvliegjes sturen elkaar boodschappen met knipperlichtjes. Maar het mooiste voorbeeld (voor een wiskundige) is hoe mieren de grootte van een nest schatten. De verkenners van de soort eptothorax albipennis zoeken een opening in de rotsen die geschikt is om een nest in te bouwen. Het moet precies groot genoeg zijn voor het aantal mieren in de kolonie. Hoe schatten de verkenners de grootte van het oppervlak? Ze hebben geen meetlatten en kunnen niet veel meer doen dan een beetje rondlopen.

Een voor de hand liggend idee is dat de mieren domweg langs de omtrek van de grot lopen en zo een zeer grove schatting maken van de oppervlakte. Maar toen onderzoekers in een laboratorium twee nesten bouwden met dezelfde omtrek en verschillende oppervlaktes, namen de mieren consequent het grootste nest. Dus de mieren verkozen zeer terecht een nest van 8 bij 10 centimeter boven één van 3 bij 15 centimeter, terwijl beide nesten een omtrek van 36 centimeter hebben.

Onderzoekers dachten toen dat de verkennende mier misschien kris-kras door de ruimte loopt en bijhoudt hoe ver hij kan lopen tot hij tegen een wand of obstakel opbotst. Hoe langer hij gemiddeld kan lopen, hoe groter het nest is. Maar ook dit idee werd afgeschoten in een laboratoriumopstelling toen onderzoekers een dun wandje midden in een nest plaatsten. De mieren kozen dit nest net zo vaak als een even groot nest zonder dat dunne wandje.

Wat doen mieren dan wel? Het lijkt erop dat ze iets gebruiken dat wiskundigen kennen als de naald van Buffon. De graaf van Buffon stelde in de 18de eeuw een vraag over naalden. Stel dat je een vloer van even brede planken hebt en dat je een naald op deze vloer laat vallen: Wat is de kans dat de naald over de lijn tussen twee planken valt? Als de naald even lang is als de planken breed zijn, dan is het antwoord . Dit principe kan worden uitgebreid om de oppervlakte van een vlak te schatten. Strooi twee even grote sets naalden op het vlak en tel hoe vaak een naald van de eerste set een naald uit de tweede verzameling raakt. De oppervlakte van het vlak is dan ongeveer gelijk aan 2 /( * het aantal snijpunten).

Het lijkt erop dat mieren deze truc toepassen door een grillig pad door het nest te lopen (de eerste set naalden) en daarna een tweede wandeling te maken en te tellen hoe vaak ze het geurspoor van hun eerste pad kruisen. Verkenners vertragen tenminste steeds even als ze hun eerdere pad kruisen. En bij experimenten waar stukjes geurspoor werden gewist vóór de tweede wandeling, maakten mieren voorspelbare fouten. Het lijkt er dus op dat mieren beter zijn in wiskunde dan veel mensen: inderdaad superslimme dieren.

De documentaire over Hendrik Lenstra (waar we eerder over schreven) komt op tv! Aanstaande zondag, 14 november 2010, om 18:30 uur op Nederland 2. Kijken dus! Zie hier voor een uitgebreidere beschrijving.