Wiskundemeisjes

Ionica & Jeanine
 
Slik Internetbureau Rotterdam Internetbureau Rotterdam



Categorieën

Archief

Coster-getallen


In Nieuws,Puzzels, door wiskundemeisjes

In september schreven we al een stukje over de leuke rekenprijsvraag van Pythagoras over Coster-getallen. Een Coster-getal is een geheel getal dat je met +, -, x en : kunt maken uit zijn eigen cijfers, waarbij elk cijfer precies twee keer wordt gebruikt. In de meer dan vijftig reacties op dat stukje zijn jullie als een dolle aan de slag gegaan om grote Coster-getallen te zoeken en algemene formules te bewijzen. Matthijs Coster (die de Coster-getallen verzon) stuurde ons een overzicht van de stand van zaken. De volgende tekst is van hem afkomstig. We hopen dat in de reacties op dit stukje weer de nodige vragen beantwoord zullen worden!

De speurtocht naar Coster-getallen heeft velen in de greep. Niet alleen scholieren zijn op zoek naar Coster-getallen onder de 200, maar er wordt ook naarstig gezocht naar grotere Coster-getallen. Op 16 januari, daags na de sluitingstermijn van de prijsvraag zal de redactie van het wiskundetijdschrift Pythagoras een lijst van Coster-getallen bekendmaken.

Tot op heden ontving de redactie al diverse inzendingen. De meest gangbare methode was het berekenen van N=2a 3b, waarbij a en b forse getallen zijn. Zo laat Tim op Wiskundemeisjes zien dat 2764 3382 een Coster-getal is. Inmiddels is echter bekend dat het grootste Coster-getal nooit gevonden zal worden, want er zijn oneindig veel Coster-getallen. Neem de rij 45, 4545, 454545, 45454545, .... In hun reacties op de Wiskundemeisjes laten Albert Hendriks en Arjen Stolk zien dat vanaf lengte 32 al deze getallen Coster-getallen zijn. Eerder stuurde David Kloet de rij 55555555, 5555555555555555, ... in, die ook allen Coster-getallen zijn.

Daarmee is een deel van de prijsvraag tot een goed einde gebracht. Maar desondanks kan iedereen nog inzenden en meedingen naar de schoonheidsprijs. Na de sluitingstermijn gaat de jury bekijken wie de meest originele inzending had. Hierbij nog vier interessante problemen om nog over na te denken.
Probleem 1: Probeer het kleinste Coster-getal te vinden groter dan 10n, voor n = 5,6,....
Probleem 2: De bewijzen dat er oneindig veel Coster-getallen bestaan die tot nog toe bij de redactie, zijn gebaseerd op de constructie van een oneindige reeks van Coster-getallen, zoals 55555555, 5555555555555555, ... en 45,4545,454545,45454545,.... Aan een dergelijke reeks gaan we een waarde toekennen, namelijk het aangepaste meetkundige gemiddelde. We nemen het product van de cijfers, als deze cijfers groter of gelijk aan 3 zijn. Elke combinatie van 1 en 2 laten we samen meetellen als een 3. De resterende tweeën tellen als 2. De resterende enen tellen mee als de derdemachtswortel uit 3. De motivatie is dat je probeert om zo groot mogelijke getallen te maken door toepassen van de gebruikelijke bewerkingen. Kleine getallen moet je zoveel mogelijk samenvoegen tot factoren 3. De vraag is nu om voor een reeks van Coster-getallen dit aangepaste meetkundig gemiddelde (zeg maar Coster-waarde) te minimaliseren.
Probleem 3: Onderzoek de binaire Coster-getallen. Tot nog toe vond ik 1,2,3,7,15 en 63. Zijn er meer?
Probleem 4: Nu gaan we kijken naar Coster-getallen in het 3-tallig stelsel. Zijn er oneindig veel Coster-3-getallen? Wat is de kleinst mogelijke Coster-3-waarde?

(Ionica)

ps Deze tekst is een sterk ingekorte versie (met wat minder mooie wiskundige formules), wie de hele tekst van Matthijs Coster wil lezen kan deze pdf-file downloaden. In deze file gaat hij ook dieper in op de gebruikte methodes en zijn ideeën over probleem 3.

14 reacties op “Coster-getallen”

  1. Steven:

    Hier een van vraag van een techneut: hebben deze coster-getallen ook nog enig nut; geven ze bijvoorbeeld inzicht in iets of kunnen ze ergens gebruikt/toegepast worden?
    of is dit iets om wiskundigen (e.a.) bezig te houden :-) ?

  2. Arjen:

    Mijn vermoeden (en mijn motivatie om aan het probleem te werken) is dat het louter bezigheidstherapie is. Wellicht werkt het nog een beetje wervend, omdat de deelnemende jongeren zelf kunnen merken hoe leuk het is om een beetje wiskundig onderzoek te doen.

    Geen nuttige nieuwe resultaten te melden overigens, ik heb niet zo erg veel tijd in coster-getallen gestoken de laatste paar dagen.

  3. Ionica:

    En de Coster-getallen vormen natuurlijk een mooie aanleiding om na te denken over algemene eigenschappen van getallen. Wie weet kun je die eigenschappen daarna ergens anders gebruiken voor wereldvrede ofzo ;)

  4. Eline:

    "Word wiskundige en werk aan wereldvrede"

    Mooie slogan, toch? ;-)

  5. Vincent:

    Nadenkend over costergetallen stuitte ik op de volgende eigenschap van getallen: 1 + 1 = 2. Toen ik googlede op deze eigenschap bleek dat deze reeds in de 12 eeuw door indiase wiskundigen was ontdekt, maar sindsdien inderdaad wel een grote bijdrage aan het geluk der mensheid geleverd heeft middels minstens 512 liefdesliedjes.

    Zo zie je maar weer...

    (het blijft natuurlijk speculeren of die indiase wiskundigen ook naar Costergetallen zochten toen ze dit ontdekte, maar toch)

  6. Matthijs Coster:

    Nieuwe ontwikkelingen...

    Ik ben er achter gekomen dat de truc zoals beschreven door Arjen en Albert opgaat voor elk t-tallig stelsel, voor t >= 4. Als $a_1\dots a_k$ repeteert, dan moet $t^k$ geschreven kunnen worden met $a_1, a_1, \dots, a_k, a_k$, waarbij minimaal \'e\'en $a_i$ niet wordt gebruikt. Het ``aangepaste" product van de cijfers $a_i$ moet derhalve groter zijn dan $t^k$.

    Daarom is het des te interessanter om te bewijzen dat het aantal Coster--3--getallen oneindig is.

  7. -xxx- kusje;-):

    kheb een vraagje: ik ben een meisje van 11 jaar (kzit int zede) en we hebben een piramide over vierhoeken gekregen en nu de vraag :
    willen jullie op jullie site ook zo'n piramide zetten??

  8. Arjen:

    @Matthijs - dat het in alle talstelsel op dezelfde manier werkt, dat was mij ook al opgevallen, het idee kwam van de welbekende identiteit
    (x^n - 1)/(x-1) = x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1
    met 10 op de plaats van x kom je dan op de compacte schrijfwijze van 10...010...01.......10...01, die aan de grondslag ligt van de truuk.

    Wat ik even niet inzie is hoe nu direct volgt dat het aangepaste product minstens t^k moet zijn. Is het evident dat het aangepaste product het grootst mogelijke getal is dat gemaakt kan worden? (Zo ja, dan is het mij duidelijk)

    Over het probleem in basis 2 of 3 heb ik me al enige tijd niet meer ontfermd. Maar dat betekent niet dat ik stil heb gezeten. Nee, ik heb een oneindige rij 10-tallige oplossingen gemaakt, met een andere structuur dan de reeds bekende rijen.

    De rijen tot nu toe zijn allemaal getallen die (plaatselijk) een periodieke stuctuur hebben: 55555555555 of 454545454545, het idee is duidelijk. Eventueel kan er met een kleine aanpassing nog iets veranderd worden aan de staart, maar daar houdt het dan ook wel op.

    Wat ik jullie nu wil tonen is een lijst getallen die niet periodiek zijn, hoewel ze nog steeds tamelijk regelmatig zijn. Dat is ook wel logisch, we willen immers iets kunnen zeggen over hoeveel we van elk cijfer hebben. De getallen waar het om gaat zijn
    001002003004...998999
    0001000200030004...9998999
    00001000020000300004...9999899999
    enz. (de nullen aan het begin alleen voor de duidelijkheid van het patroon).

    We baseren het idee op de volgende gelijkheid van rationale functies:
    ((x^(n+1)-1) / (x-1) - (n+1))/(x-1)
    is gelijk aan
    1 x^(n-1) + 2 x^(n-2) + ... + (n-1) x + n.
    Vullen we nu x=1000 en n = 999 in dan zien we dat
    ((1000^1000 - 1) / 999 - 1000)/999
    gelijk is aan het eerste getal in de rij:
    001002003...998999.
    Voor het tweede getal nemen we x=10000 en n = 9999,
    enz.

    Nu tellen we het aantal 1'en, 2'en enz. Voor x=10^k
    hebben we stukjes met elk precies k cijfers. Het aantal
    van deze stukjes waarvan het eerste cijfer een 1 is,
    is 10^(k-1) (het aantal mogelijkheden voor de andere cijfers). Idem voor elke andere plaats waar we een 1 kunnen vinden. In totaal komen er dus k * 10^(k-1)
    enen voor. Voor elk van de andere cijfers gaat dezelfde redenering op.

    In de beknopte representatie van het getal is de term
    x^(n+1) = (10^k)^(10^k) = 10^(k * 10^k) degene die het hardst groeit als k groeit. De grote uitdaging bij het aantonen dat deze getallen werken is dus het scrijven
    van 10^(k * 10^k), met 2 * k * 10^(k-1) exemplaren van de cijfers 1 t/m 9 tot onze beschikking. Dit dan wel op zo'n manier dat er ook nog voldoende cijfertjes over zijn voor drie 10^k's en een stelletje 1-en.

    Teneinde dit te doen, proberen we 10^50 te schrijven met behulp van 10 exemplaren van elk cijfer 1 t/m 9, op zo'n manier dat er een cijfer overblijft. Dat viel niet mee. Maar na enig programmeren (nuttig programmatje overigens, mochten er geintresseerden zijn) en een paar uurtjes rekentijd, kwam mijn computer met
    10^50 =
    (4*5*8)^10 *( -7 + 2*2*2 *( -2 + 3*9 *( -7 + 3*6*6 *( -2 + 3*9 *( -1 + 2*2*2 *( -2 + 3*7*7 *( -1 + 9 *( -1 + 2*9 *( -3 + 7*7 *( -1 + 9*9 *( -1 + 7 *( -1 + 9*9*9 *( -3 + 7*6 *( -3 + 7 *( -1 + 6 *( -1 + 3*6*6 *( -6 + 7 *( -1 + 3*6*6 *( -1 + 3*9)))))))))))))))))))
    op de proppen. Hierbij zijn alle cijfertjes op een na gebruikt: er is een 6 over.

    Schrijven we nu 10^(k * 10^k) als
    (10^50)(2 * k * 10^(k-2)), dan zien we dat we dit grote
    getal precies kunnen maken en dat er uiteindelijk nog
    2 * k * 10^(k-2) zessen over zijn. Beginnend bij k=3 (het eerste getal dat ik hierboven claimde), zien we dat er voldoende getallen 6-en zijn om drie keer een 1=(6/6) te maken en drie kaar een 10^k = (6 + 6 - (6 + 6)/6)^k te maken. Hiervoor zijn in totaal 6 + 5k 6-en nodig. De resterende zessen moeten nog even worden weggewerkt door herhaald optellen van (6-6) of iets dergelijks.

    Sorry voor de ontzettend lange comment; ik hoop dat het een beetje duidelijk is.

  9. Wiskundemeisjes » Coster-getallen (2):

    [...] Hoe staat het met jullie inzendingen voor de Coster-getallen prijsvraag van Pythagoras? Tot 15 januari kun je inzenden, er is dus nog even tijd! [...]

  10. Albert Reitsma:

    Ik begrijp dat Coster-getallen worden gemaakt door op de cijfers waaruit ze bestaan de bewerkingen +, -, x en / los te laten. Maar er is niet de eis dat elk van de cijfers maar 1 keer gebruikt mag worden. Mijn vragen zijn dus
    Is het mogelijk Coster-getallen te construeren met die extra eis? Is er misschien een bewijs dat dit niet kan? Als het niet kan, helpt het dan om machtsverheffen als extra bewerking toe te staan?

  11. Ionica:

    Ha Albert, zo'n eis is er wel: je moet elk cijfer precies twee keer gebruiken!

  12. Arjen:

    De extra eis is dat elk van de cijfers van het getal precies twee maal gebruikt wordt.

    Als elk getal maar 1 maal gebruikt mag worden, dan zijn er geloof ik maar eindig veel mogelijkheden. Wanneer echter machtsverheffen wordt toegestaan, is het denk ik niet zo heel moeilijk om te laten zien dat er oneindig veel zijn, waarschijnlijk van de vorm 2^iets of 3^iets.

  13. Albert Reitsma:

    Sorry, ik had de definitie niet goed gelezen. Zonder de eis elk cijfer twee keer te gebruiken, zou een Coster getal immers niks bijzonders zijn: zolang het cijfer 1 erin zit, kun je met optellen en aftrekken elk natuurlijk getal bereiken. Het simpelste voorbeeld met machtsverheffen dat ik kon bedenken: 5^2=25 (elk cijfer 1 keer gebruikt). Kan iemand me een voorbeeld zonder machtsverheffen geven?

  14. Matthijs Coster:

    Beste Albert,

    Als de cijfers elk eenmaal worden gebruikt, dan heb je te maken met Friedmangetallen (zie bijvoorbeeld A036057, OEIS). Als je geen speciale truc toepast, maar louter de operaties +,-,x en : toepast, dan zal het resultaat van de som altijd kleiner zijn dan het oorspronkelijke getal (m.u.v. de getallen 1 t/m 9).

Plaats een reactie


Je kunt LaTeX gebruiken in je reactie.
Gelieve antwoorden op puzzels tussen [SPOILER] en [/SPOILER] te plaatsen.