Wiskundemeisjes

In het meest recente boek van David Leavitt, “The Indian Clerk”, speelt wiskunde een grote rol. Het boek speelt in het begin van de twintigste eeuw en gaat over de relatie tussen de wiskundigen G. H. Hardy en Srinivasa Ramanujan. Ik ben er zelf in bezig, en het begin belooft veel goeds!

Op dinsdag 16 juni komt Leavitt naar Amsterdam. The John Adams Insitute organiseert dan samen met Uitgeverij De Harmonie een bijeenkomst over “The Indian Clerk”! De voertaal is Engels.

Tijd: 20 uur
Plaats: Posthoornkerk, Haarlemmerstraat 124-126, Amsterdam
Kaarten: via www.john-adams.nl
Prijzen: JAI-leden € 11 – Student/Senior € 10 – Niet-leden € 18,50

Het boek verschijnt in het Nederlands onder de titel “De Indische klerk”. Van de website van de uitgever:

Op een januariochtend in 1913 treft de charismatische en excentrieke G.H. Hardy, die op zijn zevenendertigste al beschouwd wordt als een van de grootste wiskundigen van zijn tijd, een mysterieuze envelop aan. Hij vindt hierin een brief van een Indische klerk, Srinivasa Ramanujan, die beweert op het punt te staan een revolutionaire wiskundige ontdekking te doen. De collega’s van Hardy menen dat hij met een oplichter van doen heeft, maar Hardy is ervan overtuigd dat de klerk serieus genomen moet worden. Deze keuze zal niet alleen zijn eigen leven en dat van zijn vrienden veranderen, maar de hele geschiedenis van de wiskunde.

“Mathematics and its paradoxes provide a deep vein of metaphor that Leavitt uses to superb effect, demonstrating how the most meaningful relationships can defy both
logic and imagination”, aldus The New Yorker.

Vorige week was ik in het Louvre. En behalve de glazen pyramides was er nog meer wiskunde te zien. Dit schilderij bijvoorbeeld: “Portret van een mathematicus” van Ferdinand Bol. Ik had met moeite zelf een foto genomen, maar die is niet zo mooi, want het schilderij hing nogal hoog en spiegelde ook nog. Gelukkig is op internet alles te vinden!

Zijn meetkundige tekening nog een beetje groter:

Ik heb overigens geen idee of hier een echte wiskundige uit die tijd afgebeeld is, en zo ja, wie. Iemand anders wel? Het schilderij komt uit 1658.

Zoals onlangs beloofd: iets meer over Edsger W. Dijkstra. Deze column verscheen eerder in Technisch Weekblad, vakblad voor hogeropgeleide technici en bèta’s.

Vijftig jaar geleden publiceerde Edsger Dijkstra zijn kortstepadalgoritme. Daarom een kleine ode aan de in 2002 overleden Dijkstra, iemand waar we als Nederlanders best wat trotser op mogen zijn. Dijkstra was een van de eerste programmeurs van Nederland. Toen hij in 1957 trouwde, werd het beroep computerprogrammeur door de burgerlijke stand nog niet erkend en uiteindelijk gaf hij maar `theoretische natuurkundige’ op.

Zijn beroemdste resultaat is het kortstepadalgoritme, dat de kortste verbinding vindt tussen twee knopen in een graaf (een verzameling punten waarvan sommigen verbonden zijn). Denk bijvoorbeeld aan het vinden van de kortste route tussen twee steden. Het slimme van Dijkstra’s algoritme is dat het niet alle mogelijke routes met elkaar vergelijkt, maar dat het stap voor stap de kortst mogelijke afstanden tot elk punt opbouwt. In de eerste stap kijk je naar alle punten die vanaf het beginpunt te bereiken zijn en markeer je al die punten met de afstand tot het beginpunt. Daarna kijk je steeds vanaf het punt dat op dat moment de kortste afstand heeft tot het beginpunt naar alle punten die je vanaf daar kunt bereiken. Als je een buurpunt via een nieuwe verbinding op een snellere manier kunt bereiken, schrijf je de nieuwe, kortere afstand tot het beginpunt bij zo’n punt. Zo ga je steeds een stukje verder tot je alle punten hebt gehad en je de kortste route tot het eindpunt hebt gevonden.

Als je het algoritme even op een servetje probeert, dan is is het zo eenvoudig dat je je afvraagt waarom je het niet zelf hebt bedacht. Dijkstra vond het zelf ook een beetje gek dat zijn naam en faam voor een groot deel gebaseerd waren op een algoritme dat hij bedacht als demonstratie voor een computer. Hij bedacht het kortstepadalgoritme zonder pen of papier op een zonnig terras terwijl hij met zijn vrouw een kopje koffie dronk.

Dijkstra verzon nog veel meer dan dit algoritme en hij had ook sterke visie op wat informatica zou moeten zijn. Honderden brieven, essays en andere handgeschreven teksten van Dijkstra staan op internet (E. W. Dijkstra Archive). Elke tekst heeft de code EWD (van Edsger W. Dijkstra) en een nummer, EWD1213 is bijvoorbeeld een inleiding bij een cursus analyse. De manier waarop hij zijn studenten daarin toespreekt, is prachtig:

It is not my purpose to “transfer knowledge” to you that, subsequently, you can forget again. My purpose is no less than to effectuate in each of you a noticeable, irreversable change. [...] I mean, if 10 years from now, when you are doing something quick and dirty, you suddenly visualize that I am looking over your shoulders and say to yourself “Dijkstra would not have liked this.”, well, that would be enough immortality for me.

Zou het hem ooit gelukt zijn dit te bereiken bij zijn studenten? De komende weken zal ik in elk geval schuldbewust aan Dijkstra denken als ik een lompe brute-force-oplossing gebruik.

Het is weer tijd voor een nieuwe aflevering van onze rubriek over wiskundigen die op een opvallende manier om het leven zijn gekomen. Deze editie gaat over Gerhard Gentzen die aan het eind van de Tweede Wereldoorlog overleed.

Gentzen werd in 1909 geboren in Duitsland. Zijn vader was een advocaat die sneuvelde in de Eerste Wereldoorlog. Gentzen kon goed leren, bij zijn eindexamen was zelfs hij de beste van zijn school. Hij kreeg een beurs om naar de universiteit te gaan en studeerde, zoals in de tijd gebruikelijk was, aan verschillende universiteiten. In 1933 haalde hij zijn doctoraat bij Weyl in Göttingen. Een jaar later werd hij de assistent van Hilbert (van het hotel en de problemen). In de tussentijd was hij ook lid geworden van de Sturmabteilung.

Gentzen werkte aan de grondslagen van de wiskunde. Onder Hilbert werkte hij aan het axiomatiseren van de wiskunde. In diezelfde tijd bewees Gödel zijn onvolledigheidsstelling. Gentzen was eerst ongerust dat dit gevolgen had voor zijn werk, maar later schreef hij dat het resultaat van Gödel erg interessant, maar niet alarmerend was:

Man kann es auch so ausdrücken, dass sich für die Zahlentheorie kein ein für allemal ausreichendes System von Schlußweisen angeben lässt, sondern dass vielmehr immer wieder Sätze gefunden werden können, deren Beweise neuartige Schlußweisen erfordern.

Het artikel over Gentzens belangrijkste resultaat op wikipedia (Gentzen’s consistency proof) heeft trouwens een expert nodig, zijn er vrijwilligers?

Gentzen was sinds 1937 lid van de NSDAP en schreef voor het nationaal-socialistische tijdschrift “Deutsche Mathematik” (bovenstaand citaat komt daaruit). Tot 1943 bleef hij verbonden aan de universiteit van Göttingen, hoewel hij tussen 1939 en 1941 in militaire dienst moest. Na zijn habilitation in 1943 vertrok hij naar Praag om daar aan de universiteit les te gaan geven – wat een deel was van het Duitse oorlogsplan. Op 5 mei 1945 kwam de Praagse bevolking in opstand en Gentzen werd, zoals alle Duitsers in Praag, gevangen genomen. Na vier dagen kwamen de Russische troepen die Gentzen onder embarlijke omstandigheden opsloten. Een medegevangene vertelde dat Gentzen best tevreden was over de opsluiting:

I can see him lying on his wooden bunk thinking all day about the mathematical problems that preoccupied him. He once confided in me that he was really quite content since now he had at last time to think about a consistency proof for analysis…

Na drie maanden in gevangenschap stierf Gentzen aan ondervoeding.

We schreven al eerder over Andrew Wiles en zijn bewijs van de beroemde laatste stelling van Fermat. Nu vond ik op Google Video de BBC-documentaire van Simon Singh en John Lynch uit 1996 over Wiles en zijn zoektocht naar het bewijs! Later verwerkte Singh het materiaal tot zijn mooie boek Fermat’s Last Theorem, vertaald als Het laatste raadsel van Fermat.

Singh heeft op zijn site een Fermat-hoekje ingericht, waar ook allerlei Fermat-trivia te vinden zijn.

Een tijdje geleden schreven we een stukje over Paul Erdős (1913 – 1996), met een linkje naar een artikel dat Alex van den Brandhof over hem schreef voor Pythagoras en op Kennislink. Ook vermeldde ik de documentaire N is a number over het leven van deze bijzondere wiskundige. En er is goed nieuws: ik heb de hele documentaire gevonden op YouTube! En als je nu geen tijd hebt: bookmarken voor in de kerstvakantie, want het is leuk!

Vandaag in Spits (pagina 6): een artikeltje over IJzebrand Schuitema, een 79-jarige ingenieur, die meer dan 25 jaar lang rekenlinialen verzameld heeft. Zijn indrukwekkende collectie bestaat uit meer dan 2700 objecten. Schuitema schreef in de loop der tijd ook verschillende boeken over rekenlinialen.

Vandaag draagt Schuitema zijn collectie over aan het Arithmeum in Bonn, een museum over rekenen, vroeger en nu. Op dit moment is er een tentoonstelling van oude mechanische rekenmachines te zien, en er zijn ook historische rekenboeken. Verder legt het museum een verband tussen kunst en wetenschap en organiseert het concerten.

Als dank en uit waardering krijgt IJzebrand Schuitema vandaag de Wolfgang-Paul-Medaille van de Universiteit Bonn.

(Met dank aan Tom voor de tip.)

Ik las in The Mathematical Tourist, de maandelijkse column van Ivars Peterson, dat Google het foto-archief van LIFE magazine aan het digitaliseren is. Alle foto’s uit dat archief komen dus online beschikbaar! De meeste foto’s zijn niet gepubliceerd en waren niet toegankelijk voor het publiek. Ongeveer 20 procent van de collectie van tien miljoen foto’s staat al online.

Peterson heeft al een boel foto’s ontdekt die over wiskunde gaan: er staan wiskundige objecten op, of wiskundige instrumenten, scholieren die wiskunde doen of zelfs beroemde wiskundigen! Hieronder staan een paar voorbeelden, net als in Petersons column, maar je kunt zelf nog meer vinden door te zoeken op “math”, “mathematics” of “mathematician”.

John von Neumann, 1947

De Franse wiskundige Maurice El-Milick, 1949

Modellen om meetkunde mee uit te leggen, 1958

Enige tijd geleden was ik in Frankfurt, en daar praatte ik met professor Sezgin op het Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften (Instituut voor de Geschiedenis van de Arabisch-Islamitische Wetenschap). In dat instituut heeft Sezgin een museum opgericht van een heleboel wetenschappelijke instrumenten, die zijn nagebouwd van de beschrijvingen in oude, Arabische teksten.

Er staat een virtuele versie van het Frankfurtse museum op internet! Klik op de zalen om de instrumenten te zien, en klik op de kleine plaatjes voor vergrotingen. Er is een zaal met meetkundige instrumenten.

Helaas is het Frankfurtse museum niet open voor publiek, maar omdat er veel belangstelling is voor deze gereconstrueerde instrumenten is deze zomer wel een museum met dezelfde instrumenten in Istanbul geopend! Volgens Sezgin is het een heel mooi museum geworden, waarover de bezoekers erg enthousiast zijn. Het is zeker ook bedoeld voor scholieren. Helaas was het nog net niet open toen ik zelf in Istanbul was.

Een van de doelen van het museum is de westerse en de Islamitische wereld wat dichter bij elkaar brengen. Volgens Sezgin wordt vaak vergeten dat de westerse wetenschap veel te danken heeft aan de Islamitische wetenschap, die bloeide tijdens onze middeleeuwen. Dat is door Europese oriëntalisten wel onderzocht, maar in de Arabische wereld zelf is dat nog niet bekend genoeg. Sezgin (die onlangs 84 werd) heeft vele jaren besteed aan het traceren, uitgeven en interpreteren van oude manuscripten, en dus ook aan het nabouwen van de instrumenten die in de oude manuscripten beschreven worden.

In Nature stond in 2004 ook een artikel over Sezgins museum. Op youtube vond ik dit filmpje over het museum in Istanbul.

Eindelijk las ik A beautiful mind van Sylvia Nasar. Jaren geleden zag ik de film, maar het boek is (zoals gebruikelijk) veel beter.

Nasar heeft een boel feiten boven tafel gekregen en vertelt zeer aanstekelijk het levensverhaal van wiskundige John Nash. Voor wie het niet weet: Nash doet in zijn jonge jaren briljant werk en krijgt nét niet de Fields medaille. Rond zijn dertigste raakt hij echter in de ban van waanideeën en dwaalt hij steeds meer af van de echte wereld. Nash wordt behandeld voor schizofrenie, maar tientallen jaren is hij bezig met obsessieve complottheorieën en loopt hij als een soort zombie door de wiskundige wereld. Wonderlijk genoeg is hij in de loop der jaren langzaam hersteld en op latere leeftijd is hij niet wereldvreemder dan de gemiddelde wiskundige. In 1994 wordt zijn werk in de speltheorie alsnog bekroond met de Nobelprijs voor Economie.

Tegen mijn verwachtingen in vond ik A beautiful mind een echte page-turner. Nasar schrijft vlot en aanstekelijk. Het leven van Nash leest als een roman, daarnaast vond ik het ontzettend interessant om allerlei nieuwe dingen over (voor mij) bekende wiskundigen te ontdekken. Neem dit stukje over Kenneth Arrow  en het onstaan van de door hem bewezen verkiezingsparadox (pdf):

The assignment was to demonstrate that it was okay to apply game theory, which is formulated in terms of individuals, to aggregrations of many individuals, namely nations. Arrow was aked to write a memorandum showing how it could be done. As it turned out, the memorandum became Arrow’s dissertation [...] “That was it! It took about five days to write in September 1948,” he recalled. “When every attempt failed I thought of the impossibility theorem.”

Is er dan niets aan te merken op het boek? Jawel, de wiskunde zelf komt er wat karig vanaf, de weinige wiskundige ideeën die voorkomen worden niet of belabberd uitgelegd. Om echt iets leren over speltheorie of ander werk van Nash kun je beter een ander boek lezen. Ook wordt er soms iets te veel achtergrondinformatie gegeven over bijfiguren. Mijn co-promotor vond dat sommige details in het boek te persoonlijk en enigszins genant waren. Maar ik, roddelzuchtig als altijd, vond dat juist zo goed. Ik hoop dat Nasar nog een wiskundige biografie zal schrijven. Van Perelman, Grothendieck of Conway bijvoorbeeld.

ps Deze recensie schreef ik enkele weken geleden, voor ik Nasar en Nash ontmoette. Inmiddels weet ik dat Nasar waarschijnlijk niet nog een biografie gaat schrijven, omdat de meeste wiskundigen `hooguit 10.000 woorden waard zijn’.