Wiskundemeisjes

Getaltheoreticus John Tate (85) is een van de grootste wiskundigen van deze tijd. Vooral voor zijn invloed kreeg hij de Abelprijs, iets als een Nobelprijs voor wiskundigen. ‘Dat niemand je werk begrijpt, is nu eenmaal ons lot.’ Door Ionica Smeets

Dit interview verscheen zaterdag in de Volkskrant.

De Noorse koning Harald V overhandigde vorige week woensdag de Abelprijs aan een zichtbaar nerveuze Tate. De 85-jarige wiskundige kreeg de onderscheiding voor zijn omvangrijke en blijvende invloed op de getaltheorie. De Abelprijs is de hoogste onderscheiding in de wiskunde, qua prestige en waarde (750.000 euro) vergelijkbaar met de Nobelprijs.

CV John Tate
1925 Geboren in Minneapolis (Verenigde Staten)

1946 Studeert af als natuurkundige; Princeton

1950 Promoveert als wiskundige; Harvard

1950 - 1953 Onderzoeker; Princeton

1953 - 1954 Gastprofessor, Columbia

1954 - 1990 Hoogleraar, Harvard

1990 - 2009 Bijzonder hoogleraar, Universiteit van Texas

2010 Abelprijs

John Tate is getrouwd en heeft drie dochters en vijf kleinkinderen.

Tate is in Oslo het stralend middelpunt van een driedaags programma vol lezingen, feesten en staatsbanketten. Zijn meegereisde familie, inclusief alle kleinkinderen, kijkt glazig bij de wiskundige voordrachten. Tates werk is maar moeilijk uit te leggen, zelfs de publiekslezingen zijn alleen voor wiskundigen te volgen. De president van de Noorse Akademie der Wetenschappen bekent in een toespraak dat hij in elk geval niets had begrepen van alle lezingen over getaltheorie. Tate lacht gelaten vanaf de eerste rij.

Later die avond zit hij er ontspannen bij in de salon van de Noorse Akademie.

Wordt u er niet moe van dat bijna niemand snapt wat u precies doet?
“Het is het grote nadeel van een carrière als wiskundige. Wiskunde is een taal die maar weinig mensen spreken, het is een kunstvorm voor liefhebbers. Soms vraagt iemand me op een cocktailparty wat ik doe. Als ik antwoord dat ik wiskundige ben, dan loopt de vragensteller vaak weg. Of hij antwoordt dat hij algebra op school wel leuk vond, maar dat hij niets van meetkunde bakte. Het is frustrerend dat je niet kunt vertellen wat je echt doet.”

Tate met de Abelprijs: ‘Ik dacht altijd dat wiskunde voor echte genieën was’

Was u altijd al dol op wiskunde?
“Als kind was ik niet met dat soort vragen bezig, ik speelde gewoon met mijn brandweerwagen. Ik hield wel van wiskunde, maar dacht er nooit serieus over na. Mijn vader was hoogleraar natuurkunde en een academische carrière was in die zin wel vanzelfsprekend.”

Ging u daarom natuurkunde studeren?
“Ik ging vooral géén wiskunde studeren. Op de middelbare school las ik Men of mathematics van E.T. Bell. Dat boek vertelt over de grote namen uit de geschiedenis van de wiskunde: Euler, Gauss, Abel, allemaal echte genieën. Ik vond het prachtig en werd bijvoorbeeld gegrepen door de schoonheid van de wet van de kwadratische reciprociteit. Maar ik kreeg het gevoel dat je alleen maar wiskunde kon doen als je een genie was. Ik wist dat ik niet zo briljant was als bijvoorbeeld Gauss en dacht dat ik niets te zoeken had bij wiskunde. Ik besefte niet dat je ook op een lager niveau fantastisch werk kunt doen. Bij natuurkunde wist ik door het voorbeeld van mijn vader dat je daarbij mooie resultaten kon behalen als je geen genie was.”

Waardoor stapte u over naar wiskunde?
“In die tijd kon je als student gratis studieboeken krijgen en ik maakte daar dankbaar gebruik van. Na het eerste semester keek ik naar mijn boekenplank. Daar stonden twintig wiskundeboeken en één natuurkundeboek. Toen besloot ik naar wiskunde over te stappen.

Bij de overstap had ik veel geluk, ik kreeg Emil Artin als begeleider toegewezen. Ik herinner me hoe in de koffiekamer een medestudent hem enthousiast aanwees en dat ik vroeg wie Emil Artin in vredesnaam was. Toen bleek dat één van mijn favoriete wiskundeboeken, Moderne Algebra door Van der Waerden, gebaseerd was op lezingen van Artin en Emmy Noether. Op de kaft stond alleen Van der Waerden, ik had nooit gezien dat de andere namen op de eerste bladzijde stonden.

Nog toevalliger was dat bleek dat juist Artin de wet van de kwadratische reciprociteit had gegeneraliseerd, het resultaat dat me zo greep als tiener. Ik had me geen betere begeleider kunnen wensen.”

Een grote invloed op de getaltheorie
John Tate werkte vooral aan getaltheorie. In dit vakgebied zijn er veel vragen van de vorm “heeft deze vergelijking een oplossing in de gehele getallen?”. Euclides bewees bijvoorbeeld ruim tweeduizend jaar geleden dat de vergelijking a² +b² = c² oneindig veel oplossing heeft in gehele getallen. De vraag of vergelijking aⁿ + bⁿ = cⁿ, voor machten n groter dan twee, geheeltallige oplossingen heeft, bleef eeuwenlang onbeantwoord. Pas in 1994 bewees Andrew Wiles dat al deze vergelijkingen geen oplossingen hebben in de gehele getallen (behalve flauwe met nullen en enen). Dit resultaat staat bekend als de Laatste Stelling van Fermat en het bewijs zou onmogelijk zijn geweest zonder een wiskundig gereedschap bedacht door Tate: het Tate-moduul.

Het Tate-moduul vormt een brug tussen meetkunde en algebra. Het transformeert een meetkundig object in een algebraïsch voorwerp. Het meetkundige object is onbruikbaar bij bewijzen in de getaltheorie, maar bevat wel de structuur van het oorspronkelijke probleem. Het Tate-moduul vergeet de afstanden die in meetkunde belangrijk zijn en vervangt die door relaties, nuttig voor algebra en getaltheorie. Hierdoor blijft de oorspronkelijke structuur in zekere zin bewaard. Het Vermoeden van Tate gebruikt dit moduul om een klassiek resultaat uit de meetkunde in de getaltheorie te kunnen toepassen. Tate bewees één special geval van dit vermoeden, hiermee was het mogelijk om allerlei bestaande problemen zoals de Laatste Stelling van Fermat aan te pakken. Het algemene vermoeden is één van de grote open problemen in de getaltheorie.

Veel van de hoofdlijnen van huidig onderzoek borduren voort op Tates ideeën en constructies. Een lange reeks wiskundige begrippen draagt zijn naam, naast het Tate-moduul en vermoeden zijn er Tate’s algoritme, Tate-Shafarevich groepen en de Sato-Tate vermoedens. De lijst kan bijna willekeurig lang doorgaan. Wiskundigen grappen dat je ook de Tate-index zou kunnen invoeren: de tijd die het duurt bij een voordracht over getaltheorie voordat de naam Tate valt.

Welk van uw resultaten vindt u zelf het belangrijkste?
“Op die vraag kan ik geen antwoord geven. De eerste Abelprijswinaar Jean-Pierre Serre zei eens dat dit is als een moeder vragen wat haar favoriete kind is. Zelfs als een moeder een lievelingskind heeft, zal ze dat nooit hardop tegen iemand zeggen.”

U werkte ook buitengewoon veel met anderen samen, hoe ging dat?
“Tegenwoordig publiceren veel onderzoekers met mensen die ze nog nooit ontmoet hebben. Dat kan dankzij email. Ik heb ook wel brieven geschreven met collega’s. Maar ik hield er vooral van om met anderen te praten over wiskunde. Vaak kreeg ik na zo’n gesprek ineens een ingeving. Ik had altijd het gevoel dat de ander datzelfde idee ook moest hebben na dat gesprek.”

En was dat ook zo?
“Gek genoeg niet.”

Collega’s vertelden dat u vaak aarzelde om uw resultaten te publiceren, waardoor kwam dat?
“Ik aarzelde helemaal niet. Het schrijven van artikelen viel me domweg zwaar. Het kostte me veel moeite om mijn resultaten op papier te krijgen. Ik schreef een pagina en verscheurde hem dan weer.”

Waarom? Vond u het niet goed genoeg?
“Dat moet je maar aan mijn psychiater vragen. Ik was in elk geval meer geïnteresseerd in het doorgaan naar een volgend probleem dan om het vorige resultaat op te schrijven. Dat was misschien niet de beste manier om te werken, maar zo ging het nu eenmaal bij mij.”

Hoe hoorde u dat u de Abelprijs had gewonnen?
“Ik werd gebeld toen ik net was opgestaan. Het was een complete verrassing, ik houd me helemaal niet bezig met dat soort dingen. Ik had geen idee op welke dag de winnaar bekend gemaakt zou worden. En ik had al helemaal nooit verwacht dat ik zou winnen.”

Heeft u nu wel een idee waarom juist u heeft gewonnen?
“Nee, dat moet u aan de jury vragen. Maar ik ben er buitengewoon blij mee.”

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

Een paar weken geleden vroeg ik aan een zwangere vriendin wanneer ze uitgerekend was. Ze grapte dat het nog veel leuker zou zijn om aan een wiskundemeisje te kunnen vragen wanneer zij uitgerekend was. Op dat moment wist ik zelf nét dat ik zwanger was, dus ik glimlachte en antwoordde maar even niet. Inmiddels wordt mijn buik langzaam boller en kan ik van de daken schreeuwen dat ik in november ben uitgerekend.

De komende maanden gaan mijn vriend en ik rustig de babykamer inrichten. De lijst van wat je allemaal nodig hebt voor een baby is angstaanjagend (om over de gedachte aan de bevalling nog maar te zwijgen). Eén van de dingen die me verbaasde waren de steeds genoemde kruikjes. Waarom heeft een baby een kruikje nodig? Het is toch lekker warm onder een dekentje, ook zonder een fles met warm water?

Voorbeeld van een zeer tevreden slapende baby. Het is niet bekend of er een kruikje onder de deken ligt.

Een dag later schoot het juiste antwoord me te binnen: baby’s koelen natuurlijk veel sneller af dan volwassenen, omdat ze in verhouding een veel groter huidoppervlak hebben dan wij. Dat komt doordat bij groei het volume sterker toeneemt dan het oppervlak.

Denk om het makkelijker te maken even aan een kubus (met excuses aan mijn toekomstige baby, die hopelijk meer op zijn vader lijkt dan op een kubus). Vergelijk een kleine kubus met zijden van één centimeter met een iets grotere kubus met zijden van tien centimeter. De kleine kubus heeft zes zijvlakken met elk een oppervlakte van één vierkante centimeter, in totaal dus een oppervlakte van zes vierkante centimeter. Vanzelfsprekend is de inhoud één kubieke centimeter. De grote kubus heeft een totale oppervlakte van zeshonderd vierkant centimeter en een inhoud van duizend kubieke centimeter.

De grote kubus heeft dus honderd keer zoveel oppervlakte als de kleine en maar liefst duizend keer zoveel inhoud. Dat betekent dat de kleine kubus in verhouding tien keer meer oppervlakte heeft. Natuurlijk komt dit doordat oppervlakte kwadratisch groeit bij het vergroten van de zijden en de inhoud met een derde macht. Ook voor andere vormen dan kubussen zullen kleine voorwerpen in verhouding meer oppervlak hebben dan grote.

Voorbeeld van een groot voorwerp.

Dit verschil tussen groot en klein verklaart allerlei verschijnselen in het dierenrijk. Zoogdieren raken warmte kwijt via hun huid en kleine dieren hebben in verhouding meer huid. Daardoor koelen ze makkelijker af dan grote dieren. Muizen en andere kleine knaagdieren raken zo makkelijk warmte kwijt, dat ze niet kunnen overleven in koude klimaten. Heel grote dieren hebben juist weer het probleem dat ze te weinig huid hebben om alle warmte kwijt te raken. Olifanten hebben hun enorme oren dan ook niet om beter mee te horen, maar om dankzij de extra huid meer warmte kwijt te raken.

Maar terug naar mensen: baby’s koelen met hun relatief grote, naar babylotion ruikende, huidoppervlak snel af. Kortom: ik ga maar eens op zoek naar lieve kruikjes. En luiers. En een bedje.

Woensdag vond in Parijs een kleine ceremonie plaats omdat Grigoriy Perelman de Millennium Prize voor het bewijzen van het Poincaré-vermoeden toegekend kreeg. Daar schreven we al eerder dit stukje en deze column over.

En zoals iedereen wel verwachtte: Perelman is niet komen opdagen, aldus USA Today en RIA Novosti:

CMI President James Carlson said on Tuesday he could not explain why the mathematician ignored the event in his honor and that he was waiting for Perelman to decide if he wants the money or not.

According to Carlson, the money will be sent to a charity foundation if Perelman does not claim it within one year.

Hij heeft het geld dus nog niet geweigerd en mag er nog even over nadenken. Tijdens de ceremonie werden prijzende woorden uitgesproken door enkele beroemde wiskundigen, te lezen op de site van het Clay Mathematics Institute.

Over een week ben ik hopelijk gepromoveerd! De voorbereidingen zijn bijna klaar (al moet ik nog een jurk kopen). Deze week ben ik door een klein groepje vrienden en collega's aan de tand gevoeld tijdens een oefenverdediging. Ik vond het heel fijn en kan zo'n sessie aan alle promovendi aanbevelen. Het is heel prettig om te merken dat je best goed weet wat er in dat proefschrift staat - en dat je ook bij lastige vragen nog wel een verhaaltje kunt vertellen.

Zoals eerder beloofd hieronder wat meer over de inhoud van mijn proefschrift On continued fraction algorithms. Op mijn site vind je het hele proefschrift en meer informatie over de verdediging op 16 juni. En hier staat een heel leuk interview uit de nieuwsbrief van de Universiteit Leiden: Wiskundemeisjes worden groot.

De samenvatting van mijn proefschrift moet voor leken (met wat goede wil) te begrijpen zijn. Hieronder het begin, je kunt het geheel downloaden: samenvatting (pdf).

Hoeveel decimalen van ken je?
Han, o lief, o zoete hartedief...

Bovenstaande dichtregel is niet alleen een liefdesverklaring, het is ook een ezelsbruggetje om de eerste decimalen van (de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter) te onthouden. Tel maar eens het aantal letters van de woorden. Er zijn veel meer van dit soort ezelsbruggetjes in allerlei talen:

How I wish I could recollect pi easily today ...

Sol y Luna y Cielo proclaman al Divino Autor del Cosmo ...

Wat u door 'n goede ezelsbrug te kennen immer met gemak onthoudt ...

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures ...

Eigenlijk heeft oneindig veel decimalen achter de komma. Wat betekent het als je alleen de eerste vijf decimalen van gebruikt? Je benadert dan met .

Misschien herinner je je een andere benadering van die vaak gebruikt wordt op school: . Deze breuk met een heel kleine noemer (7) benadert de eerste twee decimalen van . Archimedes gebruikte deze benadering al rond 200 voor Christus, maar het kan nog veel beter. Bijvoorbeeld met de breuk . Die is ongeveer gelijk aan en benadert op maar liefst zes decimalen. Deze benadering is zo goed, dat geen enkele breuk met noemer kleiner dan dichter bij ligt. Hulde dus voor de Chinese wiskundige Zu Chongzhi die in 480 (zo'n vier jaar na de val van het Romeinse rijk) met veel moeite deze benadering vond.

Archimedes en Chongzhi vonden hun benaderingen voor door veelhoeken in cirkels te tekenen. Maar je kunt voor elk willekeurig getal goede benaderingen maken met kettingbreuken.

Wat is een kettingbreuk?
Een kettingbreuk is een breuk in een breuk in een breuk, enzovoorts. Zo ziet de kettingbreuk voor er bijvoorbeeld uit:

In de breuk heb je steeds een 1, een deelstreep, een positief geheel getal en dan weer een nieuwe breuk die begint met een 1. Dit soort kettingbreuken noemen we reguliere kettingbreuken. We noteren het getal voor de breuk met , voor geldt dus . De positieve gehele getallen in de breuk noteren we als . In het voorbeeld hierboven geldt en .

Een getal dat geen breuk is, kun je op precies één manier schrijven als een oneindig lange kettingbreuk. Zulke getallen noemen we irrationaal. Kijk eens voor een mooi bewijs dat geen breuk is op Wikipedia...

Het is alweer een poosje geleden dat we trivialiteiten over pi geplaatst hebben, dus nu mag het weer een keertje: op de website van Alicia Kachmar kun je zien hoe je onderstaande pi zelf kunt haken! Als je handig bent, tenminste, en Engels haakjargon snapt...

Wat zouden de grote geesten van lang geleden geschreven hebben in de 140 karakters die twitter toestaat? In de Scientific American gaat Steve Mirsky los bij het beantwoorden van deze hypothetische vraag.

Euclidmenot Working on something (book series called Elements) to drive 10th graders nuts 4 thousands of years. Conic section alone will make them cry.

Aristophanesridiculous @Euclidmenot Conic section? I thought you said COMIC section. HaHA, I still got it! Hey, frogs are funny, yes?

Arkymeets Note to self: take more baths. Do some of my best thinking in the tub.

Enzovoorts.

De anachronismen zijn niet van de lucht, uiteraard. Vooral grappig voor wie iets van wetenschapsgeschiedenis weet. En wie zelf betere tweets van oude grootheden kan bedenken kan natuurlijk zijn gang gaan in de comments.

Zoals jullie weten worden wiskundige puzzels bevolkt door mannen met hoeden en rare gevangenisdirecteuren. Vandaag een puzzel zonder hoeden, maar met een heel merkwaardige gevangenisdirecteur. Deze man besluit een gevangene een kans te geven om vrij te komen.

De gevangenisdirecteur neemt 1, 2 of 3 in gedachten. De gevangene mag nu één vraag stellen en de gevangenisdirecteur zal op die vraag eerlijk antwoorden met "ja", "nee" of "dat weet ik niet". Na dat antwoord moet de gevangene zeggen welk getal de directeur in gedachten had. Zoals gebruikelijk bij dit soort puzzels, zal de gevangene geëxecuteerd worden als hij het verkeerde getal noemt. Als hij het juiste getal zegt, dan komt hij natuurlijk vrij.

Welke vraag moet de gevangene stellen? Er zijn verschillende oplossingen mogelijk. Ik ken één heel elegante oplossing en ben benieuwd wat jullie verzinnen!

Blijft leuk, die Abstruse Goose:

Ik moest meteen weer aan deze Mr Bean denken waarin hij niet kan slapen:

Is één van jullie handig in ondertitels in een filmpje zetten? Bij mijn praatjes over wiskunde en liefde laat ik vaak een kort stukje uit A beautiful mind zien. De laatste tijd kreeg ik wat klachten dat het fragment in het Engels is en dat niet iedereen dat begrijpt. Ik heb inmiddels de ondertitels gevonden, maar het lukt me niet om ze in het filmpje te zetten. Ik wil de ondertitels graag in het fillmpje zelf hebben en ze niet via een speler mee laten draaien, omdat ik soms vanuit andere software moet presenteren. Is dit voor één van jullie misschien een peulenschilletje? Het fragment duurt trouwens maar anderhalve minuut. Ik zal een passend bedankje verzinnen!

UPDATE: Woohaa! Binnen twee minuten heeft Tim al aangeboden me te helpen, hoera!

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Patronen en regelmaat vinden, dat vinden wiskundigen leuk. Maar een patroon of trucje waarvan je vermoedt dat het opgaat, is eigenlijk pas interessant als je kan bewijzen dat het in alle gevallen geldt.

Het voorbeeld dat ik hier geef, behandelt een manier om te zien of een getal deelbaar is door 3.

Op de basisschool leerde ik daar een trucje voor: een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. En inderdaad: het getal 456 is deelbaar door 3 en de cijfersom 4+5+6 = 15 ook; het getal 1234 is niet deelbaar door 3 en 1+2+3+4=10 ook niet. Het sterke aan dit trucje is dat het voor alle getallen geldt.

Dit trucje lijkt iets magisch! Iets dat uit de lucht komt vallen, handig is, en dat je gewoon moet onthouden. Maar hoe komt het nou eigenlijk dat het trucje werkt? Daar kwam ik pas veel later achter.

De reden is dat we rekenen in het 10-tallig stelsel. Als we een getal opschrijven, bijvoorbeeld weer 1234, dan bedoelen we eigenlijk: 1 duizendtal, 2 honderdtallen, 3 tientallen en 4 eenheden. Oftewel: 1234 = 1∙1000 + 2∙100 + 3∙10 + 4. De positie van een cijfer in het getal bepaalt dus met welke macht van tien je het moet vermenigvuldigen.

Maar wat heeft dat met het trucje voor deelbaarheid door 3 te maken? De crux ligt hier. De som van de cijfers van een getal heeft een mooie eigenschap, namelijk: deze cijfersom verschilt altijd precies een 3-voud van het getal zelf! In het voorbeeld: 1234 en 10 verschillen 1224, en 1224 = 3 ∙ 408.

We gaan verder met 1234. De som van de cijfers is 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Het verschil tussen 1234 en 10 kunnen we dus schrijven als: 1234 – 10 = 1000 + 200 + 30 + 4 – (1 + 2 + 3 + 4), wat we handig kunnen ordenen als 1000 – 1 + 200 – 2 + 30 – 3 + 4 – 4. Dit is gelijk aan 1∙999 + 2∙99 + 3∙9, want 1000 – 1 = 999 en 200 – 2 = 2∙99 en 30 – 3 = 3∙9. Omdat zowel 999 als 99 en 9 deelbaar door 3 zijn, is het getal 1∙999 + 2∙99 + 3∙9 deelbaar door 3.

Hetzelfde argument, inclusief het handig ordenen, werkt voor elk ander getal dan 1234. Het verschil tussen een getal en zijn cijfersom is altijd de som van een aantal keren 9, 99, 999 en 9999, enzovoorts, die allemaal deelbaar door 3 zijn. (En door 9, wat de reden is dat het trucje voor deelbaarheid door 9 hetzelfde werkt.)

Kortom: de som van de cijfers van een getal verschilt een 3-voud van het getal zelf. En als het getal deelbaar is door 3, is de som van de cijfers dat dus ook.

Ik vind dit een mooi voorbeeld van wat wiskundigen vaak doen: bewijzen dat bepaalde handige trucjes of patronen voor alle getallen gelden, door een onweerlegbaar argument te geven. Dat is de kracht van wiskunde!