Wiskundemeisjes

In 1998, toen ik nog een informaticameisje was, stond ik in een lange rij min of meer naïeve eerstejaarsstudenten op een parkeerplaats in Delft. Een oudere student schreeuwde ons door een megafoon toe dat we ons alfabetisch moesten sorteren op voornaam. We moesten een bubble sort gebruiken: je vroeg de naam van je buurman (of in zeer zeldzame gevallen van je buurvrouw) en als je verkeerdom stond, dan wisselde je van plaats. Het werd een lange middag...

Ik moest hieraan denken toen Joris ons een tijdje terug wees op Sorting Algorithm Animations, een heldere site waarop je verschillende sorteeralgoritmes met elkaar kunt vergelijken voor verschillende beginvoorwaarden.

Elk algoritme heeft een aparte pagina met een beschrijving, een lijstje eigenschappen en referenties. Mooi!

Een tijdje geleden heb ik een heel goed boek gelezen: Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, geschreven door David (Dave) Richeson, die ook een leuke weblog heeft (Division by zero).

Ik heb het boek gerecenseerd voor de Mathematical Intelligencer (in het Engels, dus). De recensie begint zo:

‘‘They all missed it.’’ Richeson’s book begins with a strong and clear motivation for one of his key points on the nature and the historical development of mathematics. ‘‘It’’ is ‘‘Euler’s Gem,’’ Euler’s polyhedron formula, one of the most beautiful formulas of mathematics (in fact, the author informs us, a survey of mathematicians found its beauty to be second only to , also Euler’s). ‘‘They’’ refers to all of Euler’s predecessors who, though active in the field of geometry, failed to come across this elegant and, to our eyes, even obvious relationship.

Euler’s polyhedron formula is elegant and simple: In a polyhedron, the number of vertices (), edges () and faces () always satisfy the equality . For example, a cube contains 8 vertices, 12 edges and 6 faces, and indeed, 8 – 12 + 6 = 2.

But if this formula is so simple, why did no one think of it earlier, especially when, as Richeson explains, people had been fascinated by polyhedra for millennia?

Hier kun je het hele stuk lezen (pdf).

Het is geen gemakkelijk boek. Het vereist niet meer voorkennis dan VWO-wiskunde, maar je moet wel echt je best doen om mee te denken. Maar als je doorzet leer je een boel: het boek vormt een goede balans tussen wiskundige gedachtegangen, historische feiten en subtiele historische ontwikkelingen. Onderweg leer je, aan de hand van de veelvlakkenformule van Euler, waar het vakgebied van de topologie nou eigenlijk over gaat en hoe het ontwikkeld is.

Voor scholieren of andere mensen die liever in het Nederlands lezen over veelvlakken: wiskundedocent De Leuw heeft op zijn website een toegankelijker stuk over veelvlakken gezet, met opgaven erbij, zie hier.

Vorige week schreef ik hier over onze jaartelling. Naast een boel reacties op de site kreeg ik ook een hele lading emails over dit onderwerp. Erg aardige emails, van vriendelijke mensen, geen wijsneuzen te bekennen. Bedankt voor al jullie reacties en verklaringen! Vooral de uitleg met rangtelwoorden en de vergelijking met een `nummering in letters' als c, b ,a, A, B, C waren verhelderend. Toch zou ik nog steeds liever een jaartelling met het jaar nul hebben gehad, misschien doordat ik nul als het eerste natuurlijke getal zie...

Lezer Jan mailde dat het verhaal gaat dat Donald Knuth, de informaticus, ooit gezegd heeft dat de bladzijdenummering van de meeste tijdschriften verkeerd is omdat de bladzijdenummers bovenaan de bladzijde staan en met 1 (één) beginnen. Zijn stelling was: bladzijdenummers onderaan de bladzijden (van boeken etcetera) horen bij 1, maar bladzijdenummers bovenaan de bladzijde met 0 (nul) te beginnen. Kan iemand dat verhaal bevestigen?

Toevallig las ik deze week ook The Salmon of Doubt van de onvolprezen Douglas Adams. In Unfinished Business of the Century bespreekt hij één van de grote problemen van de 20ste eeuw: de tekst van ""Do-Re-Mi," uit The Sound of Music. De tekst begint echter met iets anders...

Just a few more days to go. I think it's important not to leave a century, let alone a millennium, without cleaning up behind you, and there is clearly unfinished business to attend to. I suggest that the Net community try to identify this unfinished business and see if, between us, we can't get it squared away so that we can all enjoy the New Year celebrations with the sense of a century well done.

But first, a word to the pedants.

Yes, I know you all think that the millennium doesn't change till a year later, and very tedious you are about it, too. In fact, you are so keen to have something you can wag your fingers at the rest of the world about, that you are completely missing the point. IT HAS NO SIGNIFICANCE WHATSOEVER! It is merely an excuse to go "Whoa! Look at that! There they go!" as all the digits change.

What other significance can it _possibly_ have? Ten (along with its multiples) is an arbitrary number. January 1 is an arbitrary date. And if you happen to think that the birth of Jesus Christ is a significant moment, then all we can say with any certainty is that 1 A.D. isn't when it happened. Or 0 A.D., if the previous year had been called that (which, as we all know because the pedants keep banging on about it, it wasn't).

Then, as the historians (a _much_ more interesting bunch than the pedants) tell us, the calendar has been played around with so many times in the intervening years anyway that the whole thing is doubly meaningless.

Consider this: we've only relatively recently got our time- and date-keeping precisely defined and standardised, with the aid of atomic clocks and suchlike. And on January 1, 2000 (if the doomsayers are to believed) all of our computer systems will go haywire and plunge us back in the stone age (or not, as the case may be). So it seems to me that midnight on December 31 is the only solid and reliable point we have in the entire sorry mess, and so perhaps we should be celebrating that just a little bit. And instead of saying that we have got the end of the millennium (or bi- millennium) wrong, we should say that our ancestors got the _beginning_ of it wrong, and that we've only just sorted the mess out before starting a new mess of our own. What the hell does it matter anyway? It's just an excuse for a party.

Bij dat laatste sluit ik me van harte aan. Ik wens jullie allemaal een mooi feestje vanavond en vooral heel veel goeds voor 2010!

Hollywood houdt van een romantisch beeld van onontdekte genieën in de vorm van conciërges. The Perry Bible Fellow Ship heeft een realistischer idee.

Klik op het plaatje voor een vergroting.

Dick Lipton schreef op tweede kerstdag (die hij als Amerikaan natuurlijk niet kent) een prachtige blogpost over genante wiskunde: open problemen die al lang opgelost hadden moeten zijn. Het zijn problemen die eenvoudig zijn te formuleren en die ook makkelijk lijken om aan te pakken, maar die nog steeds onopgelost zijn. Lipton geeft een paar mooie voorbeelden en in reacties van onder anderen Terence Tao staan meer van die genante problemen. Een paar voorbeelden:

• Bewijs dat of transcendent is. Minstens één van deze uitdrukkingen moet transcendent zijn, omdat transcendent is.
• Bewijs dat voor oneindig veel priemgetallen het getal geen priemgetal is.

Tijd voor alle wiskundigen om met een mutsje met ezelsoren op in de hoek te gaan staan en voor alle anderen om een beetje te grinniken...

Lipton schreef eerder ook over wiskundige ziektes. Op zijn blog met de wat ongelukkige titel Gödel's Lost Letter and P=NP is nog veel meer moois te vinden!

Trouwe lezer HJ wees ons op een leuk interview (de Volkskrant, 15 december) met Alexander Rinnooy Kan over allerhande belangrijke politieke zaken na het mislukken van het AOW-overleg. Maar hij vertelt ook iets over wiskunde:

Zelf weet Rinnooy Kan als geen ander dat het verstandig is je te blijven ontwikkelen. De wiskundige verliet op zijn 41ste de wetenschap. ‘De tragiek van de wiskundige is dat je vanaf je veertigste weinig nieuws meer kunt. Ik weet niet wat het precies is, maar je creativiteit, flexibiliteit of je vermogen slijt om lang en diep na te denken over abstracties. Het is een groot verdriet van menig wiskundige.’

Hoewel hij zich niet meer actief bezighoudt met wiskunde, heeft hij zijn passie ervoor behouden. Voor het eerst in het gesprek begint hij uitbundig te vertellen.

‘G.H. Hardy schreef daar zo’n prachtig boekje over! Pas op zijn 60ste beseft hij dat zijn creativiteit aan het verdwijnen is. Hij vindt zijn leven zinloos geworden. Maar het kan ook anders. Hardy beschrijft een prachtige anekdote over de Indiase wiskundige Ramanujan, die op zijn sterfbed ligt. Wiskundigen zijn niet de makkelijkste praters, dus Hardy zegt dat hij in een taxi zat met een nummer waar hij echt niks bijzonders in kon ontdekken, ik meen 1789.

‘‘Nee, nee Hardy, dat zie je verkeerd!’, zegt Ramanujan zonder een seconde na te denken en bijna overlijdend. ‘Het is het kleinste getal dat je op twee manieren kunt schrijven als de som van twee derde machten’.’

Rinooy Kan lacht. ‘Dat is toch fenomenaal! Het klopt, hè?’

Bijna goed! Het is een van onze favoriete anekdotes, maar het getal klopt natuurlijk niet.

HJ wees ons ook op een grappige ingezonden brief die de volgende dag verscheen:

Aftakeling

Hierbij een reactie op het interview met SER-voorzitter Alexander Rinnooy Kan (Economie, 15 december). Niet 1789 maar 1729 is het kleinste getal dat op twee manieren de som van twee derdemachten is (namelijk die van 10 en 9 zowel als die van 12 en 1). Ik ben een wiskundige van 65 jaar en nog zeer alert. Gelukkig geldt de aftakeling niet voor iedere wiskundige vanaf 40 jaar.

Ruud Engelschman, Rheden

Op deze site kun je meer lezen over de zogenaamde "taxicab-getallen" die naar de Hardy-Ramanujan-anekdote vernoemd zijn.

Deze column staat in de kerstbijlage van de Volkskrant.

Nog maar een paar nachtjes slapen en dan is het 2010. Eindelijk zijn we verlost van die onbestemde jaren nul. Een nieuw decennium, een nieuw geluid! Hoewel, waren er niet van die wijsneuzen die in 2000 beweerden dat het nieuwe millennium pas op 1 januari 2001 begon? Begint het nieuwe decennium dan soms ook pas volgend jaar?

Helaas hebben de wijsneuzen in dit geval gelijk: onze jaartelling loopt vanaf het jaar één en niet vanaf het jaar nul. Dus als je netjes telt, dan begint het nieuwe decennium inderdaad pas over iets meer dan een jaar. Zo is het vastgelegd en daar valt niets meer aan te veranderen. Op nieuwjaarsborrels kun je de wijsneuzen dus gelijk geven en snel over iets anders beginnen.

Bijvoorbeeld over dat het wel heel raar is dat er geen jaar nul is. Blijkbaar was het eerst één voor Christus (al waren daarvan op dat moment nogal weinig mensen op de hoogte) en daarna ineens één na Christus. Dat levert merkwaardige dingen op. Neem bijvoorbeeld een Romein die geboren werd in 10 voor Christus. In het jaar 30 na Christus werd deze man dan 39. Dat is toch een beetje vreemd. De Romein in kwestie merkte daar weinig van, want onze huidige jaartelling werd pas eeuwen later vastgelegd.

Een Romein die al genoeg aan zijn hoofd heeft

In 525 gebruikte Dionysius Exiguus voor het eerst de term Anno Domini, oftewel Het jaar des Heeren, wat wij nu aanduiden met na Christus. Exiguus bedacht het jaartelsysteem om de juiste data van Pasen te kunnen bepalen, een belangrijke zaak voor de kerk en middenstand. Hij gebruikte de telling niet voor historische gebeurtenissen en verklaarde trouwens ook niet hoe hij nou wist dat het op dat moment het jaar 525 was.

Ruim 200 jaar later gebruikte de monnik Bede als eerste een jaar vóór Christus. Hij legde toen het begin van onze jaartelling vast als het jaar één. Het lijkt een bewuste keuze te zijn geweest om de jaartelling te laten beginnen bij één en niet bij nul. Vaak wordt geopperd dat Bede domweg nooit had gehoord van het getal nul, maar dat is niet waar. Hij gebruikte regelmatig het Latijnse woord nulla (niets) waar wij nu een nul zouden schrijven.

Sindsdien gebruiken historici nooit meer het jaar nul, maar sterrenkundigen, Boeddhisten en Hindoes doen dat wel. Vaak worden de verschillende keuzes uitgelegd als het verschil tussen meten en tellen. Bij tellen begin je vanaf één, denk aan de pagina’s van een krant. Bij meten begin je vanaf nul: zoals bij een liniaal. Onze eigen leeftijd meten we dus in jaren, we beginnen te tellen vanaf nul jaar.

Het telargument bij de jaartelling snap ik zelf nooit zo goed: voordat je één iets hebt, heb je er toch nul? En geen min één? Ik kan eigenlijk geen enkel goed argument verzinnen om de jaartelling te laten beginnen bij het jaar één. Wat zie ik over het hoofd? Waarschijnlijk kan een vriendelijke wijsneus dat me haarfijn vertellen op een nieuwjaarsborrel.

We schreven al eens over George W. Hart en zijn frabjous. Hij heeft nog veel meer prachtigs op zijn site staan, neem hier maar eens een kijkje.

Ik kwam op zijn site iets leuks tegen wat je ook zelf kunt maken, tijdens een lange kerstvakantie bijvoorbeeld: een speelkaartenveelvlak (fijn, de mogelijkheid van samenstellingen in de Nederlandse taal)!

Ik vind het erg mooi! Op deze site staat hoe je het veelvlak kunt maken. Er staat ook een handleiding voor een ander veelvlak van 30 kaarten, maar dat is moeilijker in elkaar te zetten. Je hebt alleen kaarten en een schaar of mesje nodig, als het goed is blijft het zonder lijm of plakband in elkaar zitten. Het is wel handig om een voorbeeldkaart te printen, zodat je op precies de goede plekken snijdt.

Als iemand aan de slag gaat: wij houden ons aanbevolen voor mooie foto's van het resultaat!

Op zondag 27 december wordt De Nationale Wetenschapquiz weer uitgezonden. Zoals elk jaar wordt er vooraf fel gediscussieerd over de antwoorden. Zo heb ik met mijn vriend (die erg goed is in push-ups) een weddenschap over het juiste antwoord op de vraag: Is het doen van push-ups voor lange en korte mensen even moeilijk? Traditioneel verlies ik dit soort weddenschappen altijd, gelukkig hebben we niet gewed om 100 push-ups...

Maar terzake: er staan ook wiskundevragen in de quiz. Je kunt de hele quiz hier vinden.

Vraag 5: Hoe lang duurt het ongeveer voordat een geheim dat eens per uur alleen door de laatste ingewijden wordt doorverteld aan drie nieuwe personen de wereld rond is?

A. Een dag
B. Een weekend
C. Een week

Vraag 14: Wanneer is je verwachte winst bij de Staatsloterij het grootst?

A. Als je een heel lot koopt
B. Als je twee hele loten koopt met verschillend eindcijfer
C. Als je een straat koopt (10 hele loten met verschillend eindcijfer)

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Aan het eind van het jaar wil ik altijd alles netjes maken. Eindelijk ga ik die foto’s van de stedentrip in februari inplakken, zal ik mijn kleren in nette gesorteerde stapels in de kast leggen en ga ik de chaos van bonnetjes en facturen veranderen in een nette administratie. Vooral dat laatste valt elk jaar weer tegen. Bij het maken van een overzicht van mijn uitgaven kan ik de juiste bonnetjes nooit vinden. Hoeveel kostte dat boek over statistiek ook alweer? Was het 15 of 20 euro? Het is verleidelijk om dan maar ongeveer te gokken, maar alle wiskundigen weten dat dit erg moeilijk goed te doen is.

De cijfers die mensen zelf verzinnen kloppen namelijk zelden met de gebruikelijke patronen. We zijn bijvoorbeeld extreem slecht in het maken van willekeurige patronen. Een wiskundeleraar gaf zijn leerlingen eens een wat merkwaardige opdracht. Ze mochten kiezen: 200 keer een muntje gooien en de uitkomsten opschrijven óf doen alsof ze een muntje opgooiden en zelf 200 uitkomsten verzinnen. De leraar kon na één blik op de uitkomsten onmiddellijk zeggen welke echt waren en welke niet. De neppatronen waren veel te netjes, de echte bevatten bijvoorbeeld rijtjes van zes keer kop achter elkaar. Als mens zou je na een paar keer kop snel weer een munt opschrijven.

Of vraag maar eens aan je vrienden op een feestje om zich zo willekeurig mogelijk over de ruimte te verdelen. Dan gaat iedereen ongeveer even ver van elkaar afstaan en de hele ruimte wordt keurig gebruikt. Een echt willekeurig patroon is veel grilliger: dan zouden op de ene plek toevallig wat mensen bij elkaar staan, terwijl verderop iemand helemaal alleen in een stuk leegte staat. Eigenlijk lijkt zo’n patroon meer op dat van een echt feestje: bij de drank staat er een kluitje mensen en de wiskundige met zijn leuke experimenten over willekeur staat al snel alleen. Een Britse professor wil trouwens onderzoeken of dronken mensen beter zijn in het maken van willekeurige patronen. Ik denk van niet, mensen kunnen volgens mij alleen per ongeluk een willekeurig patroon maken.

Een niet zo willekeurig patroon

Natuurlijk wil je bij het maken van je administratie helemaal geen willekeurige getallen gebruiken, je wilt dat de bedragen zo realistisch mogelijk zijn. Maar zodra je getallen op de een of andere manier gaat gokken, val je snel door de mand. Lijsten met bedragen voldoen namelijk aan allerlei tegenintuïtieve wetten. Zo is er de Wet van Benford die zegt dat niet elk cijfer even vaak voorkomt aan het begin van een getal: de één komt het meest voor (ongeveer in 30% van de gevallen) en de negen het minst (minder dan 5% van de gevallen). In Amerika worden gevallen van belastingfraude met deze Wet van Benford opgespoord en veroordeeld.

Kortom: het is zo moeilijk om de cijfers voor je administratie geloofwaardig te verzinnen, dat ik toch maar netjes alle bonnetjes bij elkaar ga zoeken. Daar gaat mijn kerstvakantie.